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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 29.01.2006 | | Autor: | kahlchen |
Hallo,
ich habe eine Matrix A (5x5), die wie folgt aussieht: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Aufgabenstellung bzw. Gleichung ist nun folgendermaßen: E = [mm] A^{1}+A^{2}+A^{3}+A^{4}+A^{5}
[/mm]
Ich würde jetzt anfangen [mm] A\*A [/mm] zu rechnen, danach [mm] A\*A^{2}, [/mm] usw. und zum Schluss alles addieren. Nur leider komme ich mit der Multiplikation nicht so wirklich gut zurecht :-(
Wenn jemand helfen könnte wäre es echt super!
Ich habe diese Fragen nirgendwo anders gestellt, nicht einmal meiner Katze 
mfg
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Hallo!
> Hallo,
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> ich habe eine Matrix A (5x5), die wie folgt aussieht:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
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> Die Aufgabenstellung bzw. Gleichung ist nun folgendermaßen:
> E = [mm]A^{1}+A^{2}+A^{3}+A^{4}+A^{5}[/mm]
>
> Ich würde jetzt anfangen [mm]A\*A[/mm] zu rechnen, danach [mm]A\*A^{2},[/mm]
> usw. und zum Schluss alles addieren. Nur leider komme ich
> mit der Multiplikation nicht so wirklich gut zurecht :-(
Zuerst mal ein Tipp, bevor ich es nachher vergesse: Die Multiplikation von Matrizen ist zwar nicht kommutativ, aber assoziativ, dass heißt, du kannst Klammern setzen, wie du willst. Wenn du also [mm] A^4 [/mm] berechnen möchtest, musst du nicht A*A*A*A berechnen, sondern du hast ja vorher schon [mm] A^2 [/mm] berechnet, und [mm] A^4=A^2*A^2 [/mm] - das heißt, du brauchst dann nur eine Multiplikation. Aber da fällt mir auf, wenn du [mm] A^3 [/mm] schon berechnest hast, brauchst du ja auch nur eine... Aber vielleicht merkst du dir diesen Hinweis für den Fall, dass du [mm] A^3 [/mm] nicht berechnen brauchst. 
So, nun zur Matrizenmultipliation:
Das ist so eine Sache, ich habe es mir auch das erste Mal vorrechnen lassen, damit ich es verstehe. Aber eigentlich ist es nicht so schwierig. Das Grundprinzip ist: Zeile mal Spalte. Das heißt, du nimmst dir von der linken Matrix die erste Zeile und multiplizierst diese mit der ersten Spalte der rechten Matrix. "Multipizieren" heißt in diesem Fall, der erste Eintrag mal den ersten Eintrag plus (der zweite Eintrag mal den zweiten) plus usw. also quasi komponentenweise. Oder, wenn man es noch anders ausdrücken möchte, wie das Skalarprodukt (dafür müsstest du dann aber deine Zeile als Spalte schreiben...).
Also - genug der Theorie, ich mache es dir mal vor. Allerdings ist zur Veranschaulichung ein Beispiel, in dem unterschiedliche Zahlen vorkommen, wohl besser, deswegen nehme ich jetzt einfach mal folgende Matrix:
[mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6\\2&1&0}
[/mm]
Berechnen wir also
[mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6\\2&1&0}*\pmat{1&2&3\\4&5&6\\2&1&0}
[/mm]
Die erste Zeile der linken Matrix ist: [mm] \pmat{1&2&3} [/mm] und die erste Spalte der rechten: [mm] \vektor{1\\4\\2} [/mm] und diese beiden müssen wir jetzt miteinander mutiplizieren - das ergibt dann:
1*1+2*4+3*2=1+8+6=15. Das ist der erste Eintrag unserer Ergebnismatrix.
Nun nehmen wir die zweite Zeile der ersten Matrix und multiplizieren diese immer noch mit der ersten Spalte, das ergibt dann den zweiten Eintrag in unserer Ergebnismatrix, nämlich den unter dem ersten:
[mm] \pmat{4&5&6}*\vektor{1\\4\\2}=4*1+5*4+6*2=4+20+12=36
[/mm]
(keine Garantie für richtiges Kopfrechnen )
Nun auch noch die dritte Zeile wiederum mit der ersten Spalte, für den Eintrag unter dem letztberechneten:
[mm] \pmat{2&1&0}*\vektor{1\\4\\2}=2*1+1*4+0*2=2+4=6
[/mm]
Nun haben wir die erste Spalte unserer Ergebnismatrix fertig, und deswegen auch die erste Spalte der rechten Matrix oft genug benutzt, so dass jetzt die zweite Spalte dran kommt. Da fangen wir links wieder mit der ersten Zeile an und multiplizieren diese mit der zweiten Spalte der rechten Matrix:
[mm] \pmat{1&2&3}*\vektor{2\\5\\1}=1*2+2*5+3*1=2+10+3
[/mm]
Das ist dann der erste Eintrag in der zweiten Spalte. Für den Eintrag darunter rechnen wir: [mm] \pmat{4&5&6}*\vektor{2\\5\\1}=...
[/mm]
usw. Schaffst du das alleine? Ich gebe dir mal das Ergebnis dieser Rechnung:
[mm] \pmat{15&15&15\\36&39&42\\6&9&12}
[/mm]
> Wenn jemand helfen könnte wäre es echt super!
Ich denke, das müsste helfen, oder? Evtl. musst du mal ein paar Beispiele durchrechnen, um dich nicht zu vertun - im Internet findest du bestimmt welche, von denen auch die Lösungen oder so angegeben sind, ansonsten kannst du uns ja noch ein paar gerechnet Beispiele zur Überprüfung schicken. Bei deiner Matrix mit den vielen Einsen und Nullen wird es dann wohl etwas verwirrender. [confus]
> Ich habe diese Fragen nirgendwo anders gestellt, nicht
> einmal meiner Katze
Gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber die hätte dir wohl auch kaum helfen können, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 29.01.2006 | | Autor: | kahlchen |
Vielen Dank :)
Und wegen meiner Katze, wer weiss, wer weiss :D
mfg Sebastian
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