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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine 3x3-Matrix A mit Einträgen aus [mm] F_3 [/mm] = Z/3Z gibt, für die A*A=-I gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Habe bei dieser Aufgabenstellung gar keine Ahnung wie ich vorgehen soll um das zu zeigen.
Es muss ja gelten [mm] A^2=\pmat{ [2] & [0] & [0] \\ [0] & [2] & [0] \\ [0] & [0] & [2]}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass es keine 3x3-Matrix A mit Einträgen aus
> [mm]F_3[/mm] = Z/3Z gibt, für die A*A=-I gilt.
>
> Habe bei dieser Aufgabenstellung gar keine Ahnung wie ich
> vorgehen soll um das zu zeigen.
Mit moeglichst viel Theorie und wenig rumgerechne 
Ueberlege dir erstmal, was passiert, wenn du einen Eigenvektor hast. Zeige, dass dann nicht [mm] $A^2 [/mm] = -I$ gelten kann. (Dazu musst du etwas Wissen ueber [mm] $\IF_3$ [/mm] nutzen.)
Dann gehe wie folgt vor. Das Polynom [mm] $X^2 [/mm] + 1 [mm] \in \IF_3[X]$ [/mm] hat die Matrix als Nullstelle. Da es nicht weiter faktorisierbar ist ueber [mm] $\IF_3$ [/mm] muss es das Minimalpolynom sein, und somit das charakteristische Polynom teilen. Was bleibt uebrig?
LG Felix
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Kann man dieses Problem auch ohne Eigenvektoren lösen? So was hatten wir in der Vorlesung bisher noch gar nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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