Matrizen Vektormultiplikation < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallöchen ihr Lieben:)
Exakte Aufgabe ist wirklich übertrieben!
Meine Aufgabe war in etwa:
Suche die Achse L:
Eigenwerte suchen:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Ergebnis:
[mm] (a-1)^3 [/mm] =0
Also [mm] a_1_,_2_,_3 [/mm] = 1
Eigenvektoren:
Einsetzen ergibt:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Das mit vektor x mutiplizieren und nullsetzen:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = 0 |
Hier beginnt mein Problem mit der Lösung des Professors:
Achse L= [mm] \IR [/mm](1,1,0) + [mm] \IR [/mm] (0,1,0)
Ein Vektor ist doch auch eine Matrix, oder?
Matrizenmultiplikation ist mir eigentlich klar.
3 X 3 Matrix multipliziert mit 3X 1 Matrix
Die inneren zahlen Matrix müssen zueinander passen. 3 passt zu 3.
Die äußeren zahlen bestimmen die Zeilen und Spalten des Produkts. 3 X 1
Nun schreibt Prof.:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = 0
und kommt auf das Ergebnis [mm] (0,2x_3,0)
[/mm]
Rechenregel ist:
1. Zeile mal 1. Spalte dann 2. Zeile mal 1. Spalte, etc. Also müsste doch:
(0 [mm] \cdot x_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_3) [/mm] +
(0 [mm] \cdot x_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_3) [/mm] +
(0 [mm] \cdot x_1 [/mm] + 2 [mm] \cdot x_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_3) [/mm]
und ich komme auf das Ergebnis [mm] (0,0,2x_2)
[/mm]
Würde ich es umgekehrt multiplizieren:
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] = 0
und wende die Rechenregeln an, dann komme ich ebenfalls auf die Prof Lösung: [mm] (0,2x_3,0)
[/mm]
Frage 1: Wird hier anders multipliziert bei der Vektormultiplikation, wenn ja, wieso und wie?
Ich gehe mal davon aus der Prof hat recht. Dann habe ich keine Werte für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
Der Eigenvektor ist für jeden x-Wert ohne Lösung immer die eins? Und aus [mm] 2x_3= [/mm] 0 folgt [mm] x_3 [/mm] =0
Also:
[mm] v_1=[/mm] [mm] \IR [/mm][mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber die nächsten Vektoren versteh ich nicht:
[mm] v_2=[/mm] [mm] \IR [/mm][mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] v_3=[/mm] [mm] \IR [/mm][mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] (linearabhängig von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_3?)
[/mm]
Frage 2: versteht ihr die Berechnung der Eigenvektoren in meinem Beispiel?
wie gesagt: Richtige Lösung ist:
Achse L= [mm] \IR [/mm](1,1,0) + [mm] \IR [/mm] (0,1,0)
Könnt Ihr mir ein paar Brotkrumen hinwerfen?
Grüße
euer Hanzchenklein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen ihr Lieben:)
>
> Exakte Aufgabe ist wirklich übertrieben!
> Meine Aufgabe war in etwa:
> Suche die Achse L:
>
> Eigenwerte suchen:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ergebnis:
> [mm](a-1)^3[/mm] =0
>
> Also [mm]a_1_,_2_,_3[/mm] = 1
>
> Eigenvektoren:
>
> Einsetzen ergibt:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Das mit vektor x mutiplizieren und nullsetzen:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> x [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] = 0
> Hier beginnt mein Problem mit der Lösung des Professors:
> Achse L= [mm]\IR [/mm](1,1,0) + [mm]\IR[/mm] (0,1,0)
>
> Ein Vektor ist doch auch eine Matrix, oder?
> Matrizenmultiplikation ist mir eigentlich klar.
> 3 X 3 Matrix multipliziert mit 3X 1 Matrix
>
> Die inneren zahlen Matrix müssen zueinander passen. 3
> passt zu 3.
> Die äußeren zahlen bestimmen die Zeilen und Spalten des
> Produkts. 3 X 1
>
> Nun schreibt Prof.:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> x [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] = 0
> und kommt auf das Ergebnis [mm](0,2x_3,0)[/mm]
> Rechenregel ist:
> 1. Zeile mal 1. Spalte dann 2. Zeile mal 1. Spalte, etc.
> Also müsste doch:
> (0 [mm]\cdot x_1[/mm] + 0 [mm]\cdot x_2[/mm] + 0 [mm]\cdot x_3)[/mm] +
> (0 [mm]\cdot x_1[/mm] + 0 [mm]\cdot x_2[/mm] + 0 [mm]\cdot x_3)[/mm] +
> (0 [mm]\cdot x_1[/mm] + 2 [mm]\cdot x_2[/mm] + 0 [mm]\cdot x_3)[/mm]
>
> und ich komme auf das Ergebnis [mm](0,0,2x_2)[/mm]
Du hast recht und der Professor hat nicht recht (sowas kommt häufig vor)
>
> Würde ich es umgekehrt multiplizieren:
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] x
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> = 0
Das ist Unfug. Dieses matrizenprodukt ist nicht definiert.
>
> und wende die Rechenregeln an, dann komme ich ebenfalls auf
> die Prof Lösung: [mm](0,2x_3,0)[/mm]
>
> Frage 1: Wird hier anders multipliziert bei der
> Vektormultiplikation, wenn ja, wieso und wie?
>
> Ich gehe mal davon aus der Prof hat recht.
Hat er aber nicht
Dann habe ich
> keine Werte für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> Der Eigenvektor ist für jeden x-Wert ohne Lösung immer
> die eins? Und aus [mm]2x_3=[/mm] 0 folgt [mm]x_3[/mm] =0
> Also:
> [mm]v_1=[/mm] [mm]\IR[/mm][mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aber die nächsten Vektoren versteh ich nicht:
> [mm]v_2=[/mm] [mm]\IR[/mm][mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_3=[/mm] [mm]\IR[/mm][mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> (linearabhängig von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_3?)[/mm]
>
>
> Frage 2: versteht ihr die Berechnung der Eigenvektoren in
> meinem Beispiel?
Wie gesagt, der Professor irrt.
>
> wie gesagt: Richtige Lösung ist:
> Achse L= [mm]\IR [/mm](1,1,0) + [mm]\IR[/mm] (0,1,0)
Ist sie nicht ! Sieht man den nicht auf einen Blick, dass (1,1,0) und (0,1,0) keine Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind ?
FRED
>
>
> Könnt Ihr mir ein paar Brotkrumen hinwerfen?
> Grüße
> euer Hanzchenklein
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
Danke Fred
Du sagst
> Das ist Unfug. Dieses matrizenprodukt ist nicht definiert.
Das stimmt. Ich wollte einen spaltenvektor vor die 3X3 Matrix schreiben:
[mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] ) x [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] = 0
Dann stimmt doch die Prof Lösung:
[mm] (0,2x_3,0)
[/mm]
Ich vermute, dass viele zu faul? sind das richtig zu schreiben. Jedenfalls habe ich jetzt viele Beispiele auch anderer Profs in meinen Unterlagen gefunden, die auf die selbe Weise rechnen. Die gehen vielleicht davon aus es ist egal wie rum man es schreibt, weil eigentlich jeder wissen müsste was gemeint ist? Oder vielleicht doch eine Regel die ich nicht kenne? hmm.
Hier ein weiteres beispiel:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Da wurde wieder [mm] 5x_3=0 [/mm] geschrieben, statt rechnerisch richtig:
[mm] 0x_1+5x_2+1x_3 [/mm] = 0
Wenn dieses Problem gelöst ist, ist meine Frage immer noch offen, bezüglich:
Wie komme ich auf die Vektoren?
Mal zu meinen Foto Beispiel:
[mm] v_1 [/mm] ist doch eigentlich mein [mm] x_1
[/mm]
Das [mm] x_1 [/mm] hat keine Lösung laut Gleichungssystem, ne?
Dann setze ich für alle x ohne Lösung, den Vektor =1 ?
da es im 3 Dimensionalen Raum ist:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \IR
[/mm]
hier lasse ich die Spalte 2 und 3 auf null, weil ich die im folgenden so schreibe:
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \IR
[/mm]
hier ist alles null weil ich ja [mm] x_3 [/mm] =0 ausgerechnet hatte ...
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \IR
[/mm]
... und kann daher den [mm] v_3 [/mm] vernachlässigen.
Ist diese Rechnung und Begründung richtig zu der Lösung:
L= [mm] (1,0,0)\IR [/mm] + [mm] (0,1,0)\IR
[/mm]
zu kommen?
Danke für's lesen!
|
|
|
| |
|
Hallo Hanzchenklein,
> Danke Fred
>
> Du sagst
> > Das ist Unfug. Dieses matrizenprodukt ist nicht definiert.
> Das stimmt. Ich wollte einen spaltenvektor vor die 3X3
> Matrix schreiben:
>
>
> [mm](x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3[/mm] ) x [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> = 0
>
> Dann stimmt doch die Prof Lösung:
> [mm](0,2x_3,0)[/mm]
>
> Ich vermute, dass viele zu faul? sind das richtig zu
> schreiben. Jedenfalls habe ich jetzt viele Beispiele auch
> anderer Profs in meinen Unterlagen gefunden, die auf die
> selbe Weise rechnen. Die gehen vielleicht davon aus es ist
> egal wie rum man es schreibt, weil eigentlich jeder wissen
> müsste was gemeint ist? Oder vielleicht doch eine Regel
> die ich nicht kenne? hmm.
Hier hat Dein Prof die Linkseigenvektoren berechnet.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Linkseigenvektor
>
> Danke für's lesen!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke Fred
Du sagst
> Das ist Unfug. Dieses matrizenprodukt ist nicht definiert.
Das stimmt. Ich wollte einen spaltenvektor vor die 3X3 Matrix schreiben:
[mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] ) x [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] = 0
Dann stimmt doch die Prof Lösung:
[mm] (0,2x_3,0)
[/mm]
Ich vermute, dass viele zu faul? sind das richtig zu schreiben. Jedenfalls habe ich jetzt viele Beispiele auch anderer Profs in meinen Unterlagen gefunden, die auf die selbe Weise rechnen. Die gehen vielleicht davon aus es ist egal wie rum man es schreibt, weil eigentlich jeder wissen müsste was gemeint ist? Oder vielleicht doch eine Regel die ich nicht kenne? hmm.
Hier ein weiteres Beispiel aus meiner alten Klausur:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da wurde wieder [mm] 5x_3=0 [/mm] geschrieben, statt rechnerisch richtig:
[mm] 0x_1+5x_2+1x_3 [/mm] = 0
Wenn dieses Problem gelöst ist, ist meine Frage immer noch offen, bezüglich:
Wie komme ich auf die Vektoren?
Mal zu meinen Foto Beispiel:
[mm] v_1 [/mm] ist doch eigentlich mein [mm] x_1
[/mm]
Das [mm] x_1 [/mm] hat keine Lösung laut Gleichungssystem, ne?
Dann setze ich für alle x ohne Lösung, den Vektor =1 ?
da es im 3 Dimensionalen Raum ist:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \IR
[/mm]
hier lasse ich die Spalte 2 und 3 auf null, weil ich die im folgenden so schreibe:
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \IR
[/mm]
hier ist alles null weil ich ja [mm] x_3 [/mm] =0 ausgerechnet hatte ...
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \IR
[/mm]
... und kann daher den [mm] v_3 [/mm] vernachlässigen.
Ist diese Rechnung und Begründung richtig zu der Lösung:
L= [mm] (1,0,0)\IR [/mm] + [mm] (0,1,0)\IR
[/mm]
zu kommen?
Danke für's lesen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Di 10.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also der Vektor [mm] \vektor{0 \\-5 \\ 1} [/mm] ist weder Rechts- noch Linkseigenvektor. Und wenn er Linkseigenvektoren berechnen will, dann muss er es auch richtig hinschreiben oder sagen, dass er die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix berechnen will. Die ersten beiden EV sind übrigens Linkseigenvektoren.
|
|
|
|
