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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen & Rechengesetze
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Matrizen & Rechengesetze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 So 09.07.2006
Autor: alexchill

Aufgabe
1)Berechnen Sie die Matrizen A²=A*A , A³=A*A*A sowie allgemeine [mm] A^{n}, [/mm] wenn
a) A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] b) A= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm]

2)Wenden Sie die Ihnen bekannten Rechengesetze zur Vereinfachung folgender Ausdrücke an (die Verkettbarkeit der Matrizen sei dabei gewährleistet)
[mm] a)A(BA)^{-1}B [/mm]
[mm] b)BA^{T}(BA^{T})^{-1}C [/mm]
[mm] c)AB^{T}(B^{-1})^{T}+A^{-1} [/mm]

1)
bei a)
A²:  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] *  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] =  [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] ?
A³:  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] ?

bei b)
A²: [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
A³: [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } =\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm]

Wie ich [mm] A^{n} [/mm] bei a) und b) ausdrücken soll, weiß ich nicht.

2)
a)
[mm] A(BA)^{-1}B =A*A^{-1}*B^{-1}*B=I*I=I² [/mm]
b)
[mm] BA^{T}(BA^{T})^{-1}C=BA^{T}*B^{-1}A^{T-1}C [/mm] hm?
c) mmhh ??

Wir haben zwar in Vorlesung und Tutorat ein paar Regeln aufgeschrieben, die mir jedoch hier nicht so recht weiterhelfen wollen. Diesen Aufgabentyp gabs in den Klausuren bisher auch nur einmal. Deshalb bräuchte ich nur einmal eine Hilfe, damit bei mir ein Licht aufgeht.

        
Bezug
Matrizen & Rechengesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 So 09.07.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> 1)Berechnen Sie die Matrizen A²=A*A , A³=A*A*A sowie
> allgemeine [mm]A^{n},[/mm] wenn
> a) A= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] b) A= [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>  
> 2)Wenden Sie die Ihnen bekannten Rechengesetze zur
> Vereinfachung folgender Ausdrücke an (die Verkettbarkeit
> der Matrizen sei dabei gewährleistet)
>  [mm]a)A(BA)^{-1}B[/mm]
> [mm]b)BA^{T}(BA^{T})^{-1}C[/mm]
>  [mm]c)AB^{T}(B^{-1})^{T}+A^{-1}[/mm]
>  1)
>  bei a)
>  A²:  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] *  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] =  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] ?
>  A³:  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] ?

Das scheint wohl richtig zu sein. [daumenhoch]
  
> bei b)
>  A²: [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> A³: [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } =\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]

[daumenhoch]
  
> Wie ich [mm]A^{n}[/mm] bei a) und b) ausdrücken soll, weiß ich
> nicht.

Naja, bei a) wird wohl alles weitere die Nullmatrix bleiben. Und b) müsstest du wohl mit Induktion beweisen.

> 2)
>  a)
>  [mm]A(BA)^{-1}B =A*A^{-1}*B^{-1}*B=I*I=I²[/mm]

[ok] und [mm] I^2 [/mm] ist doch =I. :-)

>  b)
>  [mm]BA^{T}(BA^{T})^{-1}C=BA^{T}*B^{-1}A^{T-1}C[/mm] hm?

Das stimmt allerdings nicht. Beim "hoch -1" wird doch die Reihenfolge vertauscht. Es gilt also:

[mm] BA^T(BA^T)^{-1}C=BA^T(A^{T})^{-1}B^{-1}C=BB^{-1}C=C [/mm] oder nicht?

>  c) mmhh ??

Wie wär's mit: [mm] AB^T(B^{-1})^T+A^{-1}=A(B^{-1}*B)^T+A^{-1}=AI^T+A^{-1}=A+A^{-1} [/mm] ?

Hilft das?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Matrizen & Rechengesetze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 So 09.07.2006
Autor: alexchill

Vielen Dank Bastiane für deine hilfreiche Antwort.

Müsste aber bei 2b) [mm] BB^{-1}C=C [/mm] nicht IC ergeben ?
Bezug
                        
Bezug
Matrizen & Rechengesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Mo 10.07.2006
Autor: steffenhst

Ja, aber ob du IC oder C schreibst ist egal. Eine Matrix multipliziert mit der Einheitmatrix ist wieder die Matrix. Ist an sich so als wenn du 1 * a = a schreiben würdest.

Bezug
                                
Bezug
Matrizen & Rechengesetze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Mo 10.07.2006
Autor: alexchill

Ok, vielen Dank!
Bezug
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