Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen Frage 4 - Vorkurse

Ein Projekt von vorhilfe.de

Die Online-Kurse der Vorhilfe E-Learning leicht gemacht.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum

Forenbaum

Schule

VK 37: Kurvendiskussionen

VK 59: Lineare Algebra

VK 60: Analysis

Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen Frage 4

Matrizen Frage 4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Uni-Lineare Algebra" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Matrizen Frage 4: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	02:40 Do 07.10.2004
Autor:	eini

4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein Lieblingsthema der letzten Tage :-)

) .Dann gilt
I.) [mm] A^{-1} [/mm] ist positiv definit
II.) [mm] A^{-1} [/mm] ist negativ definit
[mm] III.)A^{-1} [/mm] ist indefinit
IV.) A muß nicht invertierbar sein.
Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
Wie fängt man sowas an??

Bezug

Matrizen Frage 4: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	08:55 Do 07.10.2004
Autor:	Julius

Lieber eini!

> 4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein
> Lieblingsthema der letzten Tage :-)

) .Dann gilt
>  I.)  [mm]A^{-1}[/mm] ist positiv definit
>  II.) [mm]A^{-1}[/mm] ist negativ definit
>  [mm]III.)A^{-1}[/mm] ist indefinit
>  IV.) A muß nicht invertierbar sein.
>  Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
>  Wie fängt man sowas an??

Wenn du Aufgabe 3 gelöst hast, wirst du sehen, dass die Aussage I. richtig ist.

Warum?

Da $A$ symmetrisch und positiv definit ist, hat $A$ nur positive Eigenwerte und ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf deren Diagonale nur positive Einträge (die Eigenwerte eben) stehen.

Um zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] positiv ist, genügt es zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, auf deren Diagonale nur positive Einträge stehen. Dann hat nämlich [mm] $A^{-1}$ [/mm] nur positive Eigenwerte und ist somit als symmetrische Matrix mit positiven Eigenwerte positiv definit.

Wie könnte man das nun mit Hilfe von Aufgabe 3 zeigen? Hast du eine Idee? :-)