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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Geben Sie Matrizen A,B an mit AB=BA, so dass gilt
(i) Jeder Eigenvektor von A ist Eigenvektor von B, aber die Umkerhung gilt nicht.
(ii) [mm] \exists [/mm] Eigenvektoren von A, die keine Eigenvektoren von B sind, und [mm] \exists [/mm] Eigenvektoren von B, die nicht Eigenvektoren von A sind. |
Hallo,
ich probiere an der Frage schon ziemlich lange herum, komme aber zu keinem Ergebnis, weder für (i) noch für (ii).
Ich habe in einem vorherigen Aufgabenteil bereits gezeigt: Ist AB=BA (wobei das quadratische Matrizen sind) und sind alle Eigenvektoren von A und B einfach, dann gilt: A,B haben die gleichen Eigenvektoren.
Muss ich das hier irgendwo verwenden? Wie gehe ich bei dieser Aufgabe am besten vor? Über einen Ansatz würde ich mich freuen.
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Mo 18.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Unk
> Geben Sie Matrizen A,B an mit AB=BA, so dass gilt
> (i) Jeder Eigenvektor von A ist Eigenvektor von B, aber die
> Umkerhung gilt nicht.
> (ii) [mm]\exists[/mm] Eigenvektoren von A, die keine Eigenvektoren
> von B sind, und [mm]\exists[/mm] Eigenvektoren von B, die nicht
> Eigenvektoren von A sind.
> Hallo,
>
> ich probiere an der Frage schon ziemlich lange herum, komme
> aber zu keinem Ergebnis, weder für (i) noch für (ii).
Zu (i): Waehle doch $B$ als die Einheitsmatrix. (Und zwar keine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Einheitsmatrix.)
Zu (ii): Seinen $A$, $B$ die Matrizen aus (i). Konstruiere jetzt Matrizen $A', B'$ wie folgt: $A' = [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }$ [/mm] und $B' = [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }$. [/mm] Kannst du mit den neuen Matrizen was anfangen?
> Ich habe in einem vorherigen Aufgabenteil bereits gezeigt:
> Ist AB=BA (wobei das quadratische Matrizen sind) und sind
> alle Eigenvektoren von A und B einfach, dann gilt: A,B
> haben die gleichen Eigenvektoren.
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> Muss ich das hier irgendwo verwenden?
Nein, also nicht direkt. Du siehst, dass $A$ oder $B$ mehrfache Eigenwerte haben muessen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Unk |
> Zu (ii): Seinen [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] die Matrizen aus (i). Konstruiere
> jetzt Matrizen [mm]A', B'[/mm] wie folgt: [mm]A' = \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }[/mm]
> und [mm]B' = \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }[/mm]. Kannst du mit den neuen
> Matrizen was anfangen?
Damit gilt dann auf jeden Fall Kommutativität bei der Matrizenmultiplikation. Aber wie begründe ich dann den Teil mit den Eigenvektoren?
Die Matrizen A' und B' sind doch dann ähnlich oder nicht? Kann man das damit begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 19.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Zu (ii): Seinen [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] die Matrizen aus (i). Konstruiere
> > jetzt Matrizen [mm]A', B'[/mm] wie folgt: [mm]A' = \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }[/mm]
> > und [mm]B' = \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }[/mm]. Kannst du mit den neuen
> > Matrizen was anfangen?
>
> Damit gilt dann auf jeden Fall Kommutativität bei der
> Matrizenmultiplikation. Aber wie begründe ich dann den Teil
> mit den Eigenvektoren?
> Die Matrizen A' und B' sind doch dann ähnlich oder nicht?
Sie sind sich aehnlich. Was bedeutet das sie die gleichen Eigenwerte haben. Ueber die Eigenraeume kann man damit allerdings nichts sagen (ausser ueber die Dimensionen, die sind gleich).
Geh doch mal anders vor. sind $C, D$ Matrizen und ist $v$ ein Eigenvektor von $C$, so ist [mm] $\pmat{ v \\ 0 }$ [/mm] ein Eigenvektor von [mm] $\pmat{ C & 0 \\ 0 & D }$. [/mm] Damit und den obigen Matrizen kannst du jetzt was fuer die Aufgabe machen.
LG Felix
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