Matrizen Binomische Formel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich stehe im moment vor einem ziemlich großen Problem. Dieses sieht wie folgt aus:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} B=\pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1}
[/mm]
Nun soll ich anhand dieser Matrizen feststellen ob die binomische Formel (A+B)*(A-B)=A²-B² gilt.
Bei dieser Aufgabe weiss ich echt nicht weiter, im moment bin ich absolut aufgeschmissen.
Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Loddar,
meinst du mit ausrechnen jetzt das Produkt aus beiden matrizen bilden ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Di 28.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo spocky!
Na, Du mußt schon einige Produkte ausrechnen, aber zunächst etwas Vorarbeit leisten, indem Du folgende Summe bzw. Differenz bildest:
$A+B \ = \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ + \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ = \ ...$
$A-B \ = \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ - \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ = \ ...$
Das Ergebnis dieser beiden Berechnungen dann miteinander multiplizieren!
Anschließend berechnest Du folgende Produkte:
[mm] $A^2 [/mm] \ = \ A*A \ = \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ * \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ = \ ...$
[mm] $B^2 [/mm] \ = \ B*B \ = \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ * \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ = \ ...$
Diese beiden Ergebnisse ziehst Du nun voneinander ab und vergleichst mit dem obigen Ergebnis.
Gruß
Loddar
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Hallo,
dann müßte das ganze so aussehen:
A + B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] + [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 3 & 6 \\ -1 & 2 & 2 \\3 & 1 & -1 }
[/mm]
A - B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\1 & -3 & 1 } [/mm]
Mulitiplikation beider Ergebnisse:
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 6 \\ -1 & 2 & 2 \\3 & 1 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\1 & -3 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -12 & 6 \\ -2 & -3 & 3 \\4 & 8 & -1 } [/mm]
Dann Produktbildung:
$ [mm] A^2 [/mm] \ = \ [mm] A\cdot{}A [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0} [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ 5 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & -3 \\3 & 4 & 5 }$
[/mm]
$ [mm] B^2 [/mm] \ = \ [mm] B\cdot{}B [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1} [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ 4 & 7 & -5 \\ 1 & 6 & 1 \\-2 & 3 & 6 } [/mm] $
Diffenzenz beider Ergebnisse:
[mm] \pmat{ 5 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & -3 \\3 & 4 & 5 }-\pmat{ 4 & 7 & -5 \\ 1 & 6 & 1 \\-2 & 3 & 6 }= \pmat{ 1 & -8 & 10 \\ 0 & -9 & -4 \\5 & 1 & -1 }
[/mm]
Da die beiden Ergebnisse völlig unterschiedlich sind würde ich persönlich daraus schlußfolgern das die besagte Binomische Formel hierfür nicht gilt. Oder liege ich da falsch ?
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Hallo,
meiner Kenntnis nach stimmt folgende Rechnung nicht:
> A - B = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0}[/mm] - [mm]\pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\1 & -3 & 1 }[/mm]
den wenn ich das Element 22 (0) der ersten Matrix von dem Element 22 (2) der zweiten Matrix subtrahiere bekomme ich (-2)
daher lautet das Ergebnis:
A - B = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ -1 & 0 & 1 \\2 & -1 & 0}[/mm] - [mm]\pmat{ -1 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\1 & -3 & 1 }[/mm]
was dazu führt, dass bei der Multiplikation folgendes rauskommt:
[mm]\pmat{ 3 & -24 & 6\\ -2 & -11 & 2 \\4 & 4 & -1}[/mm]
Das ändert zwar nicht das Gesamtergebnis, das die Binomische Formel für Matrizen nicht stimmt, aber es kann in der Klausur Punktabzüge geben, was ja keiner will.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 29.06.2005 | | Autor: | spocky1000 |
Vielen Dank Loddar, hast mir echt geholfen !
Gruß
Spocky
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Schon eine Weile her, aber wie lässt sich das (die Differenz zwischen den Ergebnissen) eigentlich erklären? Gilt das für alle binomischen Formeln im Bezug auf Matrizen?
Merci!
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Hiho,
der Unterschied lässt sich damit erklären, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht Kommutativ ist, d.h:
[mm](A + B)(A - B) = A^2 + BA - AB - B^2[/mm]
Bei reelen Zahlen gilt ja nun BA = AB und damit BA - AB = 0.
Bei Matrizzen gilt allgemein eben AB [mm] \not= [/mm] BA und damit klappt das nicht.
MfG,
Gono.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
), kannst Du eindeutig sagen: Nein, diese Formel gilt nicht für Matrizen!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau ...
