Matrizen Berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Für i,j=1,.....,n, i [mm] \not= [/mm] j seien [mm] E_{ij} \in [/mm] M (n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) [/mm] Matrizen mit der Eigenschaft:
[mm] E_{ij}e_{k}= e_{i} [/mm] falls k = J ; [mm] e_{j} [/mm] falls k=i ; [mm] e_{k} [/mm] falls [mm] i\not=k\not=j [/mm] |
Ich verstehe überhaupt nicht, was mir dieses [mm] e_{k} [/mm] sagen soll...
i sind die Zeileneinträge, j die Spalteneinträge...aber was ist [mm] e_{k} [/mm] ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo Ymaoh,
die [mm] e_i [/mm] bzw. [mm] e_k [/mm] bezeichnen fast immer die Einheitsvektoren [mm] $e_k=\vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$ [/mm] mit einer 1 in der k-ten Zeile.
Bringt das vielleicht schon Licht in die Sache?
LG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Di 03.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Nur bedingt....
Also, wenn ich E mit [mm] e_{k} [/mm] multipliziere, und k=j ist, dann erhalte ich die j-te Spalte von E. DIe soll dann gleich [mm] e_{i} [/mm] sein, also der Einheitsvektor mit einer 1 an i-ter Stelle. Ich hab jetzt erst gedacht, dass dann die Matrix eine Einheitsmatrix sein muss damit das stimmt. Aber ich hab nicht bedacht, dass in der Aufgabe steht i [mm] \not= [/mm] j.
Aber wenn ich eine n x n Matrix habe, dann muss doch i=j sein???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Di 03.12.2013 | | Autor: | chrisno |
> Nur bedingt....
>
> Aber wenn ich eine n x n Matrix habe, dann muss doch i=j
> sein???
i=j kommt dann öfter mal vor, aber noch öfter nicht.
n ist nur der größte Wert, den i und j annehmen können.
Ich rate Dir zur Übung da Ganze mal für den Fall n=4 hinzuschreiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 03.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Aber sagen wir, ich habe eine 4x4 Matrix, dann ist der erste Eintrag doch trotzdem [mm] a_{1,1} [/mm] ? Ich verstehe diese i [mm] \not= [/mm] j Bedingung einfach nicht, die ergibt in meinen Augen keinen Sinn?`
Und wenn ich sage, j = 2, k=j, dann erhalte ich die 2te Spalte von E.
Die soll [mm] e_{i} [/mm] sein, dass heißt ein Einheitsvektor mit 1 an i-ter Stelle,
aber an welcher ist egal? Dann müsste E trotzdem einfach eine Einheitsmatrix sein.... ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Di 03.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich geben zu, das ich den Text auch nicht sofort verstehe.
Am besten ganz von vorne. Sei n = 4.
Wie viele Matritzen [mm] $E_{i,j}$ [/mm] gibt es dann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 03.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Das verstehe ich nicht, was meinst du mit wieviele Matrizen es gibt?
Es gibt dann eine 4x4 Matrix mit den Einträge [mm] a_{ij}
[/mm]
i,j [mm] \in [/mm] (1,...,4)
Oder wie ist das gemeint?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Di 03.12.2013 | | Autor: | chrisno |
> Das verstehe ich nicht, was meinst du mit wieviele Matrizen
> es gibt?
Da beginnt das Problem, wie ich es vermutet habe.
> Es gibt dann eine 4x4 Matrix mit den Einträge [mm]a_{ij}[/mm]
> i,j [mm]\in[/mm] (1,...,4)
Die [mm] $a_{ij}$ [/mm] lassen wir erst einmal weg.
>
> Oder wie ist das gemeint?
lies genau:
Für i,j=1,.....,4, i $ [mm] \not= [/mm] $ j seien $ [mm] E_{ij} \in [/mm] $ M (4 $ [mm] \times [/mm] $ 4, $ [mm] \IR) [/mm] $
Für jedes zugelassene Paar i,j gibt es eine Matrix.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 03.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
>
> Für i,j=1,.....,4, i [mm]\not=[/mm] j seien [mm]E_{ij} \in[/mm] M (4 [mm]\times[/mm]
> 4, [mm]\IR)[/mm]
>
> Für jedes zugelassene Paar i,j gibt es eine Matrix.
>
Du meinst also, dass es bei n=4 Matrizen gibt wie: (1x4), (2x4), etc?
Oder das [mm] E_{ij} [/mm] bedeutet, dass ich eine 4x4 Matrix habe, aber dann nur je die
i-te Zeile und j-te Spalte nehme?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 03.12.2013 | | Autor: | chrisno |
>
> >
> > Für i,j=1,.....,4, i [mm]\not=[/mm] j seien [mm]E_{ij} \in[/mm] M (4 [mm]\times[/mm]
> > 4, [mm]\IR)[/mm]
> >
> > Für jedes zugelassene Paar i,j gibt es eine Matrix.
> >
>
> Du meinst also, dass es bei n=4 Matrizen gibt wie: (1x4),
> (2x4), etc?
Nein, es sind alles 4x4 Matrizen.
> Oder das [mm]E_{ij}[/mm] bedeutet, dass ich eine 4x4 Matrix habe,
> aber dann nur je die
> i-te Zeile und j-te Spalte nehme?
auch nicht.
Die [mm]E_{ij}[/mm] sind alle 4x4 Matrizen, da es mehrere sind, bekommen sie mit Hilfe der i und j ihren Namen.
Darum möchte ich auch erst einmal, dass Du nur aufschreibst, wie diese 4x4 Matrizen alle heißen.
[mm] $E_{1,1}$ [/mm] gibt es nicht. [mm] $E_{1,2}$ [/mm] gibt es. Mach weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 03.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, okay, also das heißt für i,j gibt es alle tupel, in denen i [mm] \not= [/mm] j ist.
(1,2),(1,3),.....und das sind 12 Matrizen...
Aber die Namen sagen mir doch nichts über die Einträge innerhalb der Matrizen, oder?
Ah, ich glaube jetzt hab ichs:
Nehmen wir die Matrix [mm] E_{12} [/mm] dann ist E*e = [mm] e_{1} [/mm] wenn k=2 ist.
Das heißt die zweite Spalte von E ist dann der Einheitsvektor mit 1 an iter Stelle....und so muss ich da jetzt einfach weiter vorgehen....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 03.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun sind wir einen Schritt weiter. Als Nächstes muss $ [mm] E_{ij}e_{k}= e_{i}$ [/mm] verstanden werden.
Wenn das da so steht, dann lese ich da ein Produkt eines Vektors mit einer Matrix das geleich einem Vektor ist. Steht das so in der Aufgabe?
|
|
|
|
