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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Ein Käfer wandert auf dem Drahtmodell eines Tetraeders entlang. Ist er in einer Ecke angekommen, so wählt er zufällig einen der drei Wege zu den anderen Ecken aus (d. h. er kann auch den Weg wieder zurücklaufen, den er gerade gekommen ist).
a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix M und die Matrixpotenzen [mm] M^2, M^4, M^8.
[/mm]
b) Nach einiger Zeit rastlosen Wanderns merkt der Käfer, dass die Wege von 1, 2, 3 nach 4 beschwerlicher sind als die anderen; daher entscheidet er sich für diese Wege nur noch halb so oft wie für die beiden anderen Möglichkeiten. Untersuchen Sie jetzt die Veränderung der Übergangsmatrix M und ihrer Potenzen.
Grafik: http://imageshack.us/f/834/mathe.png/ |
Hallo,
zunächst einmal zu a): Ich weiß doch gar nicht welchen Weg er geht und wie oft er welchen der Wege duchquert. Wie soll ich denn dazu eine Matrix erstellen?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Dir scheint nicht klar zu sein, was der Begriff "Übergangsmatrix" bedeutet. Mach Dich hier mal schlau:
http://de.wikipedia.org/wiki/Übergangsmatrix
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ja immer 1/3. Dann müsste die Matrix doch wie folgt lauten oder?
[mm] \pmat{ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3}
[/mm]
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Hallo Mathics,
> Die Wahrscheinlichkeit beträgt ja immer 1/3. Dann müsste
> die Matrix doch wie folgt lauten oder?
>
> [mm]\pmat{ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1/3}[/mm]
>
Das ist nicht richtig, da die Übergangsmatrix quadratisch sein muss,
und deren Zeilen- oder Spaltensummen 1 ergeben muss.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Ja aber wie muss ich das denn sonst angehen.
Ich kenn die Übergangsmatrix so, dass z.B. un den Zeilen die Zugänge zu einer Sache stehen und in den Spalten die Abgänge.
Aber mit diesem Beispiel komme ich nicht klar. Es ist doch überall die Wahrscheinlich keit 1/3 oder nicht? Und 3*1/3 ist doch gleich 1 ?
Danke.
LG
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Hallo Mathics,
> Ja aber wie muss ich das denn sonst angehen.
>
> Ich kenn die Übergangsmatrix so, dass z.B. un den Zeilen
> die Zugänge zu einer Sache stehen und in den Spalten die
> Abgänge.
>
> Aber mit diesem Beispiel komme ich nicht klar. Es ist doch
> überall die Wahrscheinlich keit 1/3 oder nicht? Und 3*1/3
> ist doch gleich 1 ?
>
Das ist richtig.
Zum Tragen kommt noch die Wahrscheinlichkeit,
dass der Käfer dort stehen bleibt, wo er im Moment ist.
>
> Danke.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Ja aber ich weiß doch nicht, welchen Weg er gegangen ist. und der kann den weg doch auch wieder zurück gehen?
Ich komm da echt nicht weiter ... :(
Danke.
LG
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Hallo Mathics,
> Ja aber ich weiß doch nicht, welchen Weg er gegangen ist.
> und der kann den weg doch auch wieder zurück gehen?
Welchen Weg der Käfer gegangen ist, spielt keine Rolle.
Da die Wahrscheinlich für jeden Weg zu den anderen
3 Ecken je 1/3 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Käfer stehen bleibt gleich 0.
>
> Ich komm da echt nicht weiter ... :(
>
Es müssen auf der Diagonalen der Matix Nullen stehen.
Alle anderen Einträge besitzen den Wert 1/3.
>
> Danke.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 21.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Aber dann mit 4 Spalten und 4 Zeilen oder?
[mm] \pmat{ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0}
[/mm]
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Hallo Mathics,
> Aber dann mit 4 Spalten und 4 Zeilen oder?
>
Ja, klar.
> [mm]\pmat{ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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