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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
| Aufgabe | P2 sei der Unterraum der Polynome vom Grad </= 2 im R-Vektorraum R(X) der Polynome in einer Unbestimmten über R. Wir betrachten die lin. Abb. F: V -> V. die bezüglich der Basis B:= (1, X, X²) durch die folgende Matrix beschreiben wird.
1 0 0
Mb(f) = 0 0 1
0 1 0
(1) Zeigen Sie, dass B' := (2X+2, -X²-X-2, -2X²+2X-1) eine Basis von P2 ist.
(2) Bestimmen Sie Mb' (f) |
Guten Aben an alle. Mich interessiert eigentlich nur zweite Frage. Wer kann mir sagen Was konkret ich machen muss? Aber bitte sehr konkret, ohne bla-bla-bla. Schrit nach Schrit. Z.b. Erst: suchen wir Invers von Polynommatrix, danach multiplizeiren Resultat mit.... MIT WAS????? und so weiter. Da deutsch nicht meine Muttersprache ist, verstehe ich Theorie sehr schwer. Dsh. muss durch Praktikum verstehen. Hilfe!!! Bitte!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Di 21.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> P2 sei der Unterraum der Polynome vom Grad </= 2 im
> R-Vektorraum R(X) der Polynome in einer Unbestimmten über
> R. Wir betrachten die lin. Abb. F: V -> V. die bezüglich
> der Basis B:= (1, X, X²) durch die folgende Matrix
> beschreiben wird.
> 1 0 0
> Mb(f) = 0 0 1
> 0 1 0
>
> (1) Zeigen Sie, dass B' := (2X+2, -X²-X-2, -2X²+2X-1) eine
> Basis von P2 ist.
> (2) Bestimmen Sie Mb' (f)
> Guten Aben an alle. Mich interessiert eigentlich nur
> zweite Frage. Wer kann mir sagen Was konkret ich machen
> muss? Aber bitte sehr konkret, ohne bla-bla-bla. Schrit
> nach Schrit. Z.b. Erst: suchen wir Invers von
> Polynommatrix, danach multiplizeiren Resultat mit.... MIT
> WAS????? und so weiter.
Was du zuerst brauchst, ist die Matrix für den Übergang von der Basis B zu Basis B'. Ich nenne die mal [mm] $U_{B,B'}$. [/mm] Dann musst du [mm] $M_B(f)$ [/mm] von der einen Seite mit [mm] $U_{B,B'}$ [/mm] und von der anderen Seite mit [mm] $U_{B,B'}^{-1}=U_{B',B}$ [/mm] multiplizieren.
Hier noch die Erklärung: Wenn du ein Polynom p in der Basis B darstellst, dann ist ja
[mm] p=p_1*b_1+p_2*b_2+p_3*b_3 [/mm].
Wenn du auf dieses Polynom die Abbildung F anwendest, kommt ein anderes Polynom q heraus:
[mm] q = F(p) [/mm] mit [mm] q= q_1*b_1+q_2*b_2+q_3*b_3 [/mm].
Mit der Matrix [mm] $M_B(F)$ [/mm] ist
[mm] \vektor{q_1\\q_2\\q_3} = \pmat{ 1 & 0& 0 \\0 &0 &1 \\ 0&1&0} * \vektor{p_1\\p_2\\p_3} [/mm].
In der Basis $B'$ ist [mm] p=p'_1*b'_1+p'_2*b_2+p'_3*b'_3 [/mm] und [mm] q=q'_1*b'_1+q'_2*b'_2+q'_3*b'_3 [/mm], wobei
[mm] \vektor{p'_1\\p'_2\\p'_3} = U_{B,B'} * \vektor{p_1\\p_2\\p_3} [/mm] und [mm]\vektor{q_1\\q_2\\q_3} = U_{B',B} * \vektor{q'_1\\q'_2\\q'_3} [/mm]
Also:
[mm] \vektor{q'_1\\q'_2\\q'_3} = M_{B'}(F) * \vektor{p'_1\\p'_2\\p'_3} = M_{B'}(F) * U_{B,B'} * \vektor{p_1\\p_2\\p_3} [/mm]
und
[mm] \vektor{q_1\\q_2\\q_3} = U_{B',B} * \vektor{q'_1\\q'_2\\q'_3} = U_{B',B} * M_{B'}(F) * U_{B,B'}* \vektor{p_1\\p_2\\p_3} [/mm]
Jetzt vergleichen:
[mm] M_B(F) = U_{B',B} * M_{B'}(F) * U_{B,B'} [/mm] oder [mm] M_{B'}(F) = U_{B,B'} * M_B(F) * U_{B',B} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Di 05.05.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
Danke Reiner  )) Bischen Spät, aber ist besser als nie)))))
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