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Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
[mm] 5(BA^T)^T [/mm] + [mm] 3A^T [/mm] + X = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) + 0,5XE
Versuche schon seit 1 Stunde diese Aufgabe zu lösen mir fehlt aber wahrscheinlich der richtige Ansatz. Ich denke mal mein Problem ist das auflösen der Klammern. Kann mir einer bei der Lösung helfen so dass ich es nachvollziehen kann und verstehen kann. Wäre echt super.
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Hallo,
ich nehme mal an, dass du nach X auflösen möchtest?!
$ [mm] 5(BA^T)^T [/mm] + [mm] 3A^T [/mm] + X = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) + 0,5XE$ | - $ [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] $
$X = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) + 0,5XE - [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] $ |- $0,5XE$
$X - 0,5XE = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] $ ein wenig umschreiben:
$XE - X0.5E = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] $
nun $X$ nach links rausziehen (Achtung nach rechts geht es nicht)
$X(E-0.5E) = [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] $
nun muss noch (E-0.5E) = 0.5E [mm] \Rightarrow [/mm] |* [mm] (0.5E)^{-1} [/mm]
$X = [ [mm] 3A^T [/mm] + [mm] E^TAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(BA^T)^T [/mm] - [mm] 3A^T ]*(0.5E)^{-1}$
[/mm]
Das kann man nun noch ein wenig verschönern:
[mm] (0.5E)^{-1} [/mm] = 2E
E = [mm] E^T
[/mm]
[mm] 5(BA^T)^T [/mm] = [mm] 5(AB^T)
[/mm]
$ X= [ [mm] 3A^T [/mm] + [mm] EAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(AB^T) [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] ]*2E$
Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix ändert nichts, d.h. nur noch mit
2 multiplizieren, [mm] 3A^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] = 0:
$ X = [mm] 2EAB^T(A^T [/mm] + 5E)$
Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen: $- [mm] 5(AB^T)$ [/mm] wurde vergessen
Also erhält man: $X = [mm] 2EAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(AB^T) [/mm] = [mm] 2AB^T(A^T+5E-5E) [/mm] = [mm] 2A(AB)^T
[/mm]
ausmultiplizieren:
$X = [mm] 2EAB^TA^T [/mm] + 10EAB^TE$
Die Multiplikation mit den Einheitsmatrizen fallen raus:
$X = [mm] 2AB^TA^T [/mm] + [mm] 10AB^T$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich mich auf dem Weg nicht vertüddelt habe :o)
marthasmith
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Danke erst mal dass du mir geholfen hast. Die vorgegebene lösung lautet: [mm] 2A(AB)^T. [/mm] Ich bin auch nicht auf das Ergebnis gekommen. Vielleicht könntest du noch mal nachschauen ob nicht doch ein Fehler drin ist. Wäre echt super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Relationchip!
Marthasmith hat einen kleinen Flüchtigkeitsfehler gemacht, den du aber auch selber hättest finden können (und eigentlich müssen).
Bis hierhin stimmt es noch:
> $ X= [ [mm] 3A^T [/mm] + [mm] EAB^T(A^T [/mm] + 5E) - [mm] 5(AB^T) [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] ]*2E$
Dann vergisst sie die [mm] $-5(AB^T)$...
[/mm]
> Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix ändert nichts, d.h. nur noch mit
> 2 multiplizieren, [mm] 3A^T [/mm] - [mm] 3A^T [/mm] = 0:
> $ X = [mm] 2EAB^T(A^T [/mm] + 5E)$
Hier muss es also richtig lauten:
$X = [mm] 2EAB^T(A^T+5E) -10AB^T$
[/mm]
und man erhält:
$X = [mm] 2AB^TA^T [/mm] + [mm] 10AB^T [/mm] - [mm] 10AB^T [/mm] = [mm] 2AB^TA^T [/mm] = [mm] 2A(AB)^T$,
[/mm]
was der Musterlösung entspricht. 
Viele Grüße
Stefan
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