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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 01.04.2008 | | Autor: | zeros |
| Aufgabe | [mm] \frac{\delta}{\delta \underline{x}}\left[ (\underline{r} - \underline{\underline{H}} \cdot \underline{x})^{T}(\underline{r} - \underline{\underline{H}} \cdot \underline{x}) \right] [/mm] = [mm] \underline{0}\\
[/mm]
Vorgegebene Lösung: [mm] \\
[/mm]
[mm] \underline{x} [/mm] = [mm] (\underline{\underline{H}}^{T}\underline{\underline{H}})^{-1}\underline{\underline{H}}^{T}\underline{r} [/mm] |
Wie ist der Lösungsweg um die obige Differentation auszuführen?
Ich habe mittlerweile verschiedenste Sachen durchgesucht aber irgendwie hänge ich glaube an den genauen Ableitungsregeln für Matrizen. Ich komme einfach nicht auf die Lösung
Vieleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Di 01.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Wie ist der Lösungsweg um die obige Differentation
> auszuführen?
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\left[ (r - Hx)^t(r - H x) \right] [/mm] $
[mm] $=\frac{\partial}{\partial x} [/mm] (r^tr - r^tHx - [mm] \underbrace{x^tHr}_{=r^tHx} [/mm] +x^tH^tHx)$
$=-2r^tH + 2x^tH^tH [mm] \overset{!}{=} [/mm] 0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] H^tr=H^tHx$
[mm] $\Leftrightarrow x=(H^tH)^{-1}H^tr$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}Ax [/mm] = A$, für alles konstante, was man mit dem Vektor x multiplizieren kann
[mm] $\frac{\partial}{\partial x} [/mm] x^tH^tHx = 2 H^tHx$. Hier sieht man die Analogie zu Skalaren.
Wenn Du Probleme mit den Regeln im Mehrdimensionalen hast, dann schau Dir Dein Skript dazu halt nochmal an. Oder leite es Dir aus der Definition der Ableitung her, dafür lernt Ihr sie ja. =)
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