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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Sei A eine reelle m [mm] \times [/mm] n-Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Zeigen sie, dass A als Produkt A=QR dargestellt werden kann, wobei
a) Q eine m [mm] \times [/mm] n-Matrix ist, deren Spalten eine orthonormierte Basis des Spaltenraums sind und
b) R aus [mm] GL(n,\IR) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, dh. [mm] r_{ij}=0 [/mm] für i>j
Kann mir bitte jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Leider weiß ich nicht so recht womit ich anfangen soll.
Vielen Lieben Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Du sollst aus A eine Dreiecksmatrix machen, indem du links eine Matrix dranmultiplizierst. Das sieht mir schon sehr nach elementaren Matrizenumformungen nach Zeilen aus. Bist du sicher, dass A eine mxn-Matrix ist und nicht vom Format nxn?
Wir haben so etwas nur einmal in der Vorlesung gemacht und das ging mit dem Gaußschen Vorwärts-Eliminationsverfahren:
1. Schritt:
Durch Zeilen tauschen wird [mm] a_{11}\not=0
[/mm]
2. Schritt:
Subtrahiere von der i-ten Zeile [mm] \bruch{a_{i1}}{a_{11}}*1.Zeile
[/mm]
für i=2,...,n
Damit hast du eine Matrix, die in der 1. Spalte nur Nullen hat, bis auf das Element [mm] a_{11}
[/mm]
Das ganze wiederholst du jetzt mit der 2. Zeile bis zur m-ten.
Q ist dann das Produkt aus diesen ganzen Elementarmatrizen.
Ich schreibe diesen Beitrag aber erst mal nur aus Mitteilung, da ich auch nicht weiß, wie dieses Q ermittelt wird, und was eine Orthonomierte Basis des Spaltenraums ist.
Aber vielleicht hilft dir das ja schon ein bisschen weiter.
@alle anderen: Bitte korrigiert mich, wenn etwas nicht stimmt.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Hab grad kurz nachgeschaut wie es geht. Du beschreibst die LR-Zerlegung.
Für die QR Zerlegung man das Gleiche nur aber statt mit Elementarmatrizen, mit geeigneten Orthogonalmatrizen (Spiegelungen, Drehungen). Geeignet in dem Sinn, dass durch sukzessives Linksmultiplizieren an A eine obere Dreiecksmatrix R entsteht. Man hat dann
[mm] H_{l}*...*H_{1}A=R
[/mm]
mit geeigneten Orthomatrizen H (etwa Householder-Spiegelungen). Die [mm] H_{i} [/mm] sind invertierbar und da sie orthogonal sind ist auch noch [mm] H_{i}^{-1}=H_{i}^{t}. [/mm] Dann hat man
[mm] A=H_{1}^{t}*...H_{l}^{t}R.
[/mm]
Das Produkt der H-Matrizen wird zu Q zusammengefasst:
A=QR.
Ich finde es überzogen, dass man so was in der Schule machen muss.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Ja es ist ganz sicher eine m [mm] \times [/mm] n-Matrix.
Das Verfahren welches du angibst, mache ich das so lange bis ich eine Dreiecksmatrix habe oder bis ich eine Matrix habe, die nur Diagonalelemente besitzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Wie gesagt geht es hier um die QR-Zerlegung.
Zur allgemeinen Info:
http://de.wikipedia.org/wiki/QR-Zerlegung (sieh auch Link zu Householder-Spiegelungen),
http://www.math.tu-berlin.de/~mehl/lehre/05ss-nla/qr.pdf
Zur Konstruktion mittels Householder-Spiegelungen:
http://www-user.tu-chemnitz.de/~benner/Lehre/Numerik/FolieQRF.pdf
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Irgendwie verstehe ich nicht wie ich das dann zeigen kann. Gut hab verstanden dass es sich um die QR-Zerlegung handelt, aber wie genau zeige ich jetzt, dass diese gilt? Weil mein Aufgabe war ja, dass ich zeigen soll, dass eine Matrix A gleich dem Produkt von Q und R ist.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Du kannst einen ganzen Algorithmus hinklatschen, der Q und R explizit angibt. Und das für jede Matrix A mit linear unabhängigen Spalten. Das ist ein konstruktiver Beweis. Hier noch ein schöner Link:
http://www.uni-bayreuth.de/departments/math/~lgruene/numerik0203/skript_numerik0203.pdf
Lies den ersten Satz auf Seite 25.
Gruß,
dormant
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