Matrizen- Basis bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die Menge aller Matrizen der Gestalt
[mm] \begin{pmatrix}
a & 0 & a \\
0 & a+b & 0 \\
b & 0 & a
\end{pmatrix} [/mm] fuer a,b reell einen Vektorraum bilden. Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum an. Welche Dimension hat dieser Vektorraum ??? |
Hi, schon wieder habe ich "doubts", wie ich richtig eine Basis bestimmen koennte !
Also, ich weiss dass diese Menge einen Vektorraum bildet. E
Ein Student hat die Basis wie unten bestimmt:
[mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix}
a & 0 & a \\
0 & a+b & 0 \\
b & 0 & a
\end{pmatrix} \in [/mm] M, beliebig
[mm] \vec [/mm] x= a* [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \vec [/mm] b* [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] Basisvektoren
B= [mm] \left\{ \vec b_1, \vec b_2 \right\}
[/mm]
Wie ich verstanden habe hat dieser Student einmal fuer a=1, b=0 eingesetzt und einmal a=0,b=1 .
Ich aber habe so die Basis bestimmt :
a=1 und b= 1
[mm] \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] x_1+x_2*0+x_3+x_1*0+2*x_2+x_3*0+x_1+x_2*0+x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} \begin{matrix}
= - \lambda & -v \\= \lambda & \\= & v
\end{matrix}
[/mm]
und jetzt die gesuchte Basis :
[mm] \vec [/mm] x= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} [/mm] + v* [mm] \begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} [/mm] und die Dimension ist 2 .
Danke im Voraus,
Fidan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Weisen Sie nach, dass die Menge aller Matrizen der Gestalt
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a & 0 & a \\
0 & a+b & 0 \\
b & 0 & a
\end{pmatrix}[/mm]
> fuer a,b reell einen Vektorraum bilden. Geben Sie eine
> Basis fuer diesen Vektorraum an. Welche Dimension hat
> dieser Vektorraum ???
> Hi, schon wieder habe ich "doubts", wie ich richtig eine
> Basis bestimmen koennte !
>
> Also, ich weiss dass diese Menge einen Vektorraum bildet.
> E
>
> Ein Student hat die Basis wie unten bestimmt:
>
> [mm]\vec[/mm] x= [mm]\begin{pmatrix}
a & 0 & a \\
0 & a+b & 0 \\
b & 0 & a
\end{pmatrix} \in[/mm]
> M, beliebig
>
> [mm]\vec[/mm] x= a* [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\vec[/mm] b* [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> Basisvektoren
> B= [mm]\left\{ \vec b_1, \vec b_2 \right\}[/mm]
Ja, völlig richtig . mit [mm] B_1=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
und [mm] B_2=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> Wie ich
> verstanden habe hat dieser Student einmal fuer a=1, b=0
> eingesetzt und einmal a=0,b=1 .
Hä ?? Wie kommst Du darauf ?
>
> Ich aber habe so die Basis bestimmt :
>
Was jetzt kommt ist mir schleierhaft.
FRED
> a=1 und b= 1
>
> [mm]\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] = 0
>
> [mm]x_1+x_2*0+x_3+x_1*0+2*x_2+x_3*0+x_1+x_2*0+x_3=0[/mm]
>
> [mm]2x_1+2x_2+2x_3=0[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} \begin{matrix}
= - \lambda & -v \\= \lambda & \\= & v
\end{matrix}[/mm]
>
> und jetzt die gesuchte Basis :
>
> [mm]\vec[/mm] x= [mm]\lambda[/mm] * [mm]\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}[/mm] + v*
> [mm]\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}[/mm] und die
> Dimension ist 2 .
> Danke im Voraus,
> Fidan
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... und wie hat er die [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] bestimmt ???
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Hallo,
Du betrachtest den VR der Matrizen der Gestalt $ [mm] \begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0 \\ b & 0 & a \end{pmatrix} [/mm] $ .
> ... und wie hat er die [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] bestimmt ???
Der schlaue Student hat gemerkt, daß man $ [mm] \begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0 \\ b & 0 & a \end{pmatrix} [/mm] $ schreiben kann als
$ [mm] \begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0 \\ b & 0 & a \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] =aB_1+bB_2.
[/mm]
Also kann der fragliche VR von [mm] (B_1, B_2) [/mm] erzeugt werden.
Dieses Erzeuendensystem ist offensichtlich (wenn's nicht offensichtlich ist: zeigen!) linear unabhängig.
Also ist's eine Basis des betrachteten VRes.
LG Angela
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