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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 01.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
- Lineare Algebra I -
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bekommen, und diese auch gelöst. Ich wollte nur wissen, ob ich es auch richtig gemacht habe, oder ob ich noch was ergänzen muss.
Aufgabe:
Berechnen Sie die Determinanten
D2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: = $ \vmat{ \varepsilon & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon+ \alpha[/mm] 1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} $, D3Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $ \vmat{ \varepsilon & 0 & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & [mm] \alpha[/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0 & -1 & [mm] \varepsilon+\alpha[/mm] 2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} $
und stellen Sie auf Grund der Resulatate eine Vermutung auf für
DnEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\vmat{ \varepsilon & 0 & ... & 0 & 0 & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & ... & 0 & 0 & [mm] \alpha[/mm] 1 [mm] \\ [/mm] . & . & . & . & . & . [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & ... & -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & [mm] \alpha[/mm] n-2 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & ... & 0 & -1 & [mm] \varepsilon+\alpha[/mm] n-1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} $
Beweisen Sie die Vermutung.
Ich habe folgendes rausgekommen:
Für D2[mm] \Rightarrow [/mm] det(D2) kommt [mm] $\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon$+$\alpha[/mm] 0$ raus.
Für D3[mm] \Rightarrow [/mm] det(D3) kommt [mm] $\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\alpha[/mm] 2[mm] *\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 0$ raus.
Also ist es hier ersichtlich, dass für Dn[mm] \Rightarrow [/mm] det(Dn[mm] )=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$ rauskommt.
Meine Frage ist nur, muss ich das per Induktion beweisen, oder genügt es dass ich es so aufschreibe.
Also ich habe es folgendermaßen per Induktion gelöst:
Induktionsbehauptung: det(Dn[mm] )=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1. Und [mm] $\alpha[/mm] n-1$, sowie [mm] $\alpha[/mm] 0$ sind konstant.
Induktionsbeginn: det(Dn+1[mm] ):=$\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
Da [mm] $\alpha[/mm] 0$ konstant [mm] \Rightarrow $\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n$ [mm] \gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon$+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n$ [mm] \Rightarrow $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
q.e.d.
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Ist dat richtig ???
Danke schon mal.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:58 Di 01.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
ok..........sorry, hatte mich verrechnet :(
Danke.
Also lautet die Behauptung: det(Dn[mm] ):=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n-k[mm] *\alpha[/mm] n-k$.
Jetzt fragt sich nur, ob dann meine Induktion richtig ist.
Und da ist sie auch schon:
Induktionsanfang: [mm] n=1\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\varepsilon[/mm] 1-1[mm] *\alpha[/mm] 1-1[mm] $=$\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
[mm] n=2\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\summe_{k=1}^{2}\varepsilon[/mm] 2-k[mm] *\alpha[/mm] 2-k[mm] $=$\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0[mm] *\varepsilon[/mm] 0$.
[mm] n=3\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\summe_{k=1}^{3}\varepsilon[/mm] 3-k[mm] *\alpha[/mm] 3-k[mm] $=$\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\alpha[/mm] 2[mm] *\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0[mm] *\varepsilon[/mm] 0$.
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
Induktionsbeweis: [mm] $\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\summe_{k=1}^{n+1}\varepsilon[/mm] n+1-k[mm] *\alpha[/mm] n+1-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\summe_{k=1}^{n+1}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n+1-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n-k[mm] *\alpha[/mm] n-k$.
q.e.d
Richtig so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 01.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
HI,
nein, das geht so nicht, du teilst wahrlos durch irgendwelche Epsilons !
Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht, was die ganzen Äquivalenzzeichen sollen - dazwischen stehen keine Aussagen, sondern nur einzelne Terme ohne Gleichheitszeichen.
Wäre nett ein paar mehr Worte dazu zu lesen.
Induktion kann hier auch gar nicht funktionieren, denn wie willst du denn die Gleichung für deine nxn Matrix in deiner (n+1)x(n+1) Matrix nutzen, wenn du
1) nicht Laplace verwendest (und somit die nxn Untermatrizen erhälst)
2) nur einmal $ [mm] \varepsilon +a_{n+1} [/mm] $ und sonst kein $ [mm] \varepsilon +a_n [/mm] $ darin stehen hast?
Kann ja sein, dass ich was übersehe (deshalb teilw beantwortet), aber ich denke du MUSST hier Laplace anwenden.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 02.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
Aber die Behauptung det(Dn):=$ [mm] \varepsilon^{n} [/mm] $+$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\varepsilon^{n-k}\cdot{}\alpha_{n-k} [/mm] $. stimmt oder ?
Ich bräuchte vielleicht nen Tipp mit Laplace ... ich komme da irgendwie nicht auf nen Ansatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 02.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, die Behauptung stimmt.
und es geht doch mit Induktion, aber beim Induktionsschritt musst du Laplace anwenden !
Also: im I.Schritt kannst du davon ausgehen, dass du für alle Zahlen bis n gezeigt hast: det( [mm] D_n [/mm] ):= $ [mm] \varepsilon^{n} +\summe_{k=1}^{n}\varepsilon^{n-k}\cdot{}\alpha_{n-k} [/mm] $
so, jetzt nimmst du deine (n+1) Matrix und entwickelst die Determinante nach der ersten Zeile, was heißt das?
Ich hoffe, du kennst den Laplace'schen Entwicklungssatz.
[Welches Vorzeichen muss vor dem [mm] a_0 [/mm] stehen (abhängig davon ob n gerade oder ungerade) ? Wie sehen die Unterdeterminanten aus? Was sind deren Determinantenwerte (Ind.Vorraussetzung und rechnen)?]
reicht hoffentlich als Tip. Wenn nicht frag nach, wo du Probleme bekommst.
viele Grüße
DaMenge
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