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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Do 08.04.2010 | | Autor: | Rolfi |
| Aufgabe 1 | A [mm] \in \IR^{nxn}
[/mm]
Folgende Äquivalenzen gelten für Matrixnormen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 \le \wurzel{n} \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Die Spaltensummenform ist die zugeordnete Matrixnorm zu [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_1 [/mm] |
Hallo miteinander!
Ich habe gerade beim Durchblättern von ein paar Skripten [mm] (http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ss06/NUM1a/Normen_1.pdf) [/mm] die obigen Definitionen gefunden. Ich hab nur irgendwie nicht den blassesten Schimmer wie man auf das kommt?
Es handelt sich hier um die üblichen p-Normen (1 Spaltensumme, [mm] \infty [/mm] Zeilensumme...)
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} |a_{i,j}| \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} a^{2}_{i,j}}
[/mm]
// quadrieren
[mm] \bruch{1}{n} \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} a^{2}_{i,j} \le \summe_{i,j=1}^{n} a^{2}_{i,j}
[/mm]
// * n
[mm] \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} a^{2}_{i,j} \le \summe_{i,j=1}^{n} a^{2}_{i,j} [/mm] * n
// summen aufbrechen
[mm] \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} a^{2}_{i,j} \le [/mm] n * [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} a^{2}_{i,j}
[/mm]
aber wie schätzt man dann ab? bzw ist das überhaupt die richtige vorgehensweise?
ad 2)
Was bedeutet "zugeordnet"?
entnommen von:
http://www.scai.fraunhofer.de/fileadmin/ArbeitsgruppeTrottenberg/SS06_duis/kap2.pdf (seite 12)
Ich bin hier ehrlich gesagt etwas irritiert durch die verschiedenen Normen.
vielen dank für jede hilfe!
mfg
rolfi
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 08.04.2010 | | Autor: | felixf |
Halo!
> A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm]
> Folgende Äquivalenzen gelten für
> Matrixnormen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} \parallel[/mm] A [mm]\parallel_1 \le \parallel[/mm]
> A [mm]\parallel_2 \le \wurzel{n} \parallel[/mm] A [mm]\parallel_1[/mm]
> Die Spaltensummenform ist die zugeordnete Matrixnorm zu
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_1[/mm]
> Hallo miteinander!
>
> Ich habe gerade beim Durchblättern von ein paar Skripten
> [mm](http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ss06/NUM1a/Normen_1.pdf)[/mm]
> die obigen Definitionen gefunden. Ich hab nur irgendwie
> nicht den blassesten Schimmer wie man auf das kommt?
> Es handelt sich hier um die üblichen p-Normen (1
> Spaltensumme, [mm]\infty[/mm] Zeilensumme...)
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} \parallel[/mm] A [mm]\parallel_1 \le \parallel[/mm]
> A [mm]\parallel_2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} |a_{i,j}| \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} a^{2}_{i,j}}[/mm]
>
> // quadrieren
>
> [mm]\bruch{1}{n} \max_{1 \le j \le n} \summe_{i=1}^{n} a^{2}_{i,j} \le \summe_{i,j=1}^{n} a^{2}_{i,j}[/mm]
Seit wann ist $(a + [mm] b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$?
[/mm]
So kannst du hier nicht argumentieren. Du kannst aber mal versuchen, die Ungleichung von Cauchy-Schwarz mit zu verwenden.
> ad 2)
> Was bedeutet "zugeordnet"?
Die [mm] $\|v\|_1$ [/mm] zugeordnete Matrixnorm [mm] $\|A\|_1$ [/mm] ist doch definiert als [mm] $\|A\|_1 [/mm] := [mm] \sup_{x \in \IR^n \atop \|x\|_1 = 1} \|A x\|_1$.
[/mm]
(siehe Seite 10 im Skript, Definition 2.3)
Du musst also zeigen, dass fuer alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\|x\|_1 [/mm] = 1$ gilt [mm] $\|A x\| \le{}$der [/mm] Spaltensummennorm, und dass es einen Vektor $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\|x\|_1 [/mm] = 1$ gibt mit [mm] $\|A x\|_1$ [/mm] gleich der Spaltensummennorm von $A$.
LG Felix
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