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Hallo Zusammen!
Ich habe zwei Verständnisfragen zum Beweis folgender Behauptung
| Aufgabe | | Die von [mm]\lVert\,\cdot{}\,\rVert[/mm] induzierte Norm [mm]\lVert\,\cdot{}\,\rVert_I[/mm] ist submultiplikativ, falls [mm]m = n[/mm]. |
Bei der Behauptung ist mir als erstes unklar wieso hier [mm]m = n[/mm] vorausgesetzt werden muß, wieso die Aussage also nur für quadratische Matrizen funktioniert. Ich denke diese Frage ist berechtigt, da die induzierten Matrixnormen folgendermaßen eingeführt werden:
Ist [mm]\lVert\,\cdot{}\,\rVert[/mm] eine Norm auf [mm]\mathbb{K}^n[/mm] und [mm]A \in \mathbb{K}^{\textcolor{red}{m}\times n}[/mm], so definiert
[mm]\left\|A\right\|_M := \sup_{x\ne 0}{\frac{\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}} = \max_{\left\|x\right\|=1}{\left\|Ax\right\|}[/mm]
eine Matrixnorm auf [mm]\mathbb{K}^{\textcolor{red}{m}\times n}[/mm].
Und hier ist der Beweis der Behauptung:
Sei [mm]m=n[/mm] und [mm]B\ne 0[/mm], dann gilt
[mm]\renewcommand{\arraystretch}{2.25}\begin{array}{ll}
\displaystyle\left\|A\cdot{B}\right\|_I & \displaystyle= \sup_{x\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|x\right\|}} = \sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|x\right\|}} =
\sup_{Bx\ne 0}{\left(\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|Bx\right\|}\cdot{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}\right)}\\
\displaystyle{}&\displaystyle \mathrel{\textcolor{red}{\le}} \sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|Bx\right\|}}\cdot{\sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}}
\le \sup_{y\ne 0}{\frac{\left\|Ay\right\|}{\left\|y\right\|}}\cdot{\sup_{x\ne 0}{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}} = \left\|A\right\|_I\left\|B\right\|_I.
\end{array}[/mm]
Mir ist hier nur unklar, wieso beim roten Operatorzeichen kein Gleichheitszeichen steht, sondern auch der Fall '[mm]<[/mm]' berücksichtigt werden muß?
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
> Ich habe zwei Verständnisfragen zum Beweis folgender
> Behauptung
>
>
> Die von [mm]\lVert\,\cdot{}\,\rVert[/mm] induzierte Norm
> [mm]\lVert\,\cdot{}\,\rVert_I[/mm] ist submultiplikativ, falls [mm]m = n[/mm].
>
> Bei der Behauptung ist mir als erstes unklar wieso hier [mm]m = n[/mm]
Dies hängt direkt an der Definition von ![[]](/images/popup.gif) Submultiplikativität. Der GRundkörper aus dem A und B kommen soll halt gleich sein. Matrizen unterschiedlicher Dimension lißen sich nicht beliebig addieren/multiplizieren. Man könnte das sicher auch anders definieren z.B. so das nur die Multiplikation gesichert ist.
>
> [mm]\renewcommand{\arraystretch}{2.25}\begin{array}{ll}
\displaystyle\left\|A\cdot{B}\right\|_I & \displaystyle= \sup_{x\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|x\right\|}} = \sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|x\right\|}} =
\sup_{Bx\ne 0}{\left(\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|Bx\right\|}\cdot{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}\right)}\\
\displaystyle{}&\displaystyle \mathrel{\textcolor{red}{\le}} \sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|ABx\right\|}{\left\|Bx\right\|}}\cdot{\sup_{Bx\ne 0}{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}}
\le \sup_{y\ne 0}{\frac{\left\|Ay\right\|}{\left\|y\right\|}}\cdot{\sup_{x\ne 0}{\frac{\left\|Bx\right\|}{\left\|x\right\|}}} = \left\|A\right\|_I\left\|B\right\|_I.
\end{array}[/mm]
>
>
> Mir ist hier nur unklar, wieso beim roten Operatorzeichen
> kein Gleichheitszeichen steht, sondern auch der Fall '[mm]<[/mm]'
> berücksichtigt werden muß?
Um es auf eine andere Stufe zu heben Du hast 2 positive Funktionen f und g dann ist das Supremum des Produkts kleiner als das Produkt der Maxima. in Formeln:
[mm] \sup_{x\in D}f(x)*g(x)=f(x_{max})*g(x_{max})\le\sup_{x\in D}f(x)*\sup_{x\in D}g(x)
[/mm]
Die Stelle des MAximalwert des Produkts der Funktionen [mm] x_{max} [/mm] ist ja wieder in D also ist der Funktionswert an der Stelle kleiner als das Sup über alle x aus D.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> Um es auf eine andere Stufe zu heben Du hast 2 positive
> Funktionen f und g dann ist das Supremum des Produkts
> kleiner als das Produkt der Maxima. in Formeln:
> [mm]\sup_{x\in D}f(x)*g(x)=f(x_{max})*g(x_{max})\le\sup_{x\in D}f(x)*\sup_{x\in D}g(x)[/mm]
>
> Die Stelle des MAximalwert des Produkts der Funktionen
> [mm]x_{max}[/mm] ist ja wieder in D also ist der Funktionswert an
> der Stelle kleiner als das Sup über alle x aus D.
Also ich habe jetzt aus deinen Ausführungen ein kleines Beispiel erstellt, das - glaube ich - genau ein Fall ist, wo man '<' benutzen muß. Und zwar setze ich [mm]f(x) := -2x^3 +3x^2 +1[/mm] und [mm]g(x) := -x^2+1[/mm]. Es gilt [mm]\sup_{x\in D}{f(x)} = 2[/mm] und [mm]\sup_{x\in D}{g(x)} = 1[/mm].
Jetzt betrachten wir die Produktfunktion [mm]f(x)g(x)[/mm] und wenn ich richtig gerechnet habe gilt für [mm]x = -0.6537\ldots[/mm]: [mm]\sup_{x\in D}{f(x)g(x)} = 1.6267\ldots \mathrel{\textcolor{red}{<}} 2\cdot{1}[/mm].
Na ja, also wenn ich mich nicht verrechnet habe, müßte ich's jetzt verstanden haben. 
Viele Grüße
Karl
[P.S. Fallen dir eventuell zwei einfachere Funktionen mit derselben '<'-Eigenschaft ein?]
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Hallo Karl,
Es gilt für alle auf D positiven Funktionen. Ein Bsp. macht das (meiner Meinung nach) nicht so anschaulich. Man müßte außerdem noch sagen was D ist.
viele grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> [mm]\sup_{x\in D}f(x)*g(x)=f(x_{max})*g(x_{max})\le\sup_{x\in D}f(x)*\sup_{x\in D}g(x)[/mm]
>
> Die Stelle des Maximalwert des Produkts der Funktionen
> [mm]x_{max}[/mm] ist ja wieder in D
okay ...
> also ist der Funktionswert an
> der Stelle kleiner als das Sup über alle x aus D.
Hier ist mir irgendwie nicht so klar, was du mir sagen willst. Meinst du damit die allerletzte Ungleichung? Im Moment sehe ich nicht wieso sie gilt... :-(.
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Weil [mm] f(x_{max})<\sup_{x \in D}f(x) [/mm] und alles positiv ist so das sich das auf das Produkt überträgt.
grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> Weil [mm]f(x_{max})<\sup_{x \in D}f(x)[/mm] und alles positiv ist
Sorry, ich hab' wohl ein "Brett vorm Kopf" aber gilt diese Ungleichung deshalb, weil man sich z.B. Funktionen vorstellen kann, die zuerst ein Extremum erreichen und sich dann einem unerreichbaren Grenzwert nähern, also sowas hier? :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Denn in solchen Fällen gilt wohl tatsächlich [mm]f(x_{max})<\sup_{x \in D}f(x)[/mm], oder? Im Moment weiß ich nicht, wie ich's mir sonst klarmachen kann...
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Karl,
Dein Bild hat mir schonmal gezeigt wo meine Argumentation ihre Schwachstellen hatte. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Es muß kein solches [mm] x_{max} [/mm] geben.
Also neuer Versuch(hoffentlich diesmal richtig):
[mm] \sup_{x \in D} f(x)*g(x)[/mm]
Jetzt ersetze f(x) durch eine Konstante die eine obere Grenze darstellt das vergrößert das Ganze.
[mm] \sup_{x \in D} f(x)*g(x) \le \sup_{x \in D} ((\sup_{x \in D}f(x))*g(x)) [/mm]
Als Konstante kann man [mm] \sup_{x \in D} [/mm] f(x) jetzt aus dem Supremum rausziehen.
[mm]\sup_{x \in D} ((\sup_{x \in D}f(x))*g(x)) =\sup_{x \in D} f(x)\sup_{x \in D} g(x)[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
