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Hi,
ich soll folgendes lösen:
1) Sei Q [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] othogonal. Berechne die Konditionszahl [mm] K_{2}(Q)
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] \parallel [/mm] Q [mm] \parallel_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{p(Q^{T}Q)}=\wurzel{p(Q^{-1}Q)} =\wurzel{p(I)}= [/mm] 1
[mm] \parallel Q^{-1} \parallel_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{p(QQ^{T})}= \wurzel{p(QQ^{-1})} [/mm] = [mm] \wurzel{p(I)}= [/mm] 1
Dann gilt mit K(A)= [mm] \parallel [/mm] Q [mm] \parallel \parallel Q^{-1} \parallel=1
[/mm]
Stimmt das so?
2) Sei U [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] unitär. Berechne die Konditionszahl K(U)
Hier bin ich mir ziemlich unsicher. Ich habe bis jetzt:
K(U)= [mm] \parallel [/mm] U [mm] \parallel \parallel U^{-1} \parallel= \parallel [/mm] U [mm] \parallel \parallel U^{-H} \parallel= \parallel [/mm] I [mm] \parallel [/mm] =1
So einfach kann es nicht sein oder?
3) Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] symmetrisch und positiv definit. Zeige [mm] K_{2}(A)= \bruch{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}
[/mm]
Hier weiß ich leider gar nicht weiter. Ich weiß nur, dass [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel= \wurzel{p(A^{T}A)}, [/mm] wobei p(A) der größte Eigenwert von A ist.
Sei [mm] \lambda_{max} [/mm] der größte Eigenwert von A. Da A symmetrisch und positiv definit ist, ist A invertierbar und der Eigenwert von [mm] A^{-1}=\bruch{1}{\lambda_{max}}
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 19.11.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich soll folgendes lösen:
> 1) Sei Q [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] othogonal. Berechne die
> Konditionszahl [mm]K_{2}(Q)[/mm]
> Meine Lösung:
> [mm]\parallel[/mm] Q [mm]\parallel_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{p(Q^{T}Q)}=\wurzel{p(Q^{-1}Q)} =\wurzel{p(I)}=[/mm] 1
> [mm]\parallel Q^{-1} \parallel_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{p(QQ^{T})}= \wurzel{p(QQ^{-1})}[/mm]
> = [mm]\wurzel{p(I)}=[/mm] 1
> Dann gilt mit K(A)= [mm]\parallel[/mm] Q [mm]\parallel \parallel Q^{-1} \parallel=1[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja
> 2) Sei U [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] unitär. Berechne die
> Konditionszahl K(U)
> Hier bin ich mir ziemlich unsicher. Ich habe bis jetzt:
> K(U)= [mm]\parallel[/mm] U [mm]\parallel \parallel U^{-1} \parallel= \parallel[/mm]
> U [mm]\parallel \parallel U^{-H} \parallel= \parallel[/mm] I
> [mm]\parallel[/mm] =1
> So einfach kann es nicht sein oder?
Doch
> 3) Sei A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] symmetrisch und positiv definit.
> Zeige [mm]K_{2}(A)= \bruch{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}[/mm]
> Hier
> weiß ich leider gar nicht weiter. Ich weiß nur, dass
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel= \wurzel{p(A^{T}A)},[/mm] wobei p(A) der
> größte Eigenwert von A ist.
> Sei [mm]\lambda_{max}[/mm] der größte Eigenwert von A. Da A
> symmetrisch und positiv definit ist, ist A invertierbar und
> der Eigenwert von [mm]A^{-1}=\bruch{1}{\lambda_{max}}[/mm]
> Weiter komme ich leider nicht.
größter Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] =1/(kleinster Eigenwert von A)
>
> Gruß
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Danke Fred!
Ich habe noch eine Frage. Ist bei einer symmetrisch positiv definiten Matrix die Transponierte gleich der Inversen?
Frage damit ich in der Spektralnorm die Transponierte ersetzen kann.
Ansonsten wüsste ich nicht weiter.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Di 22.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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