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> 1. Es soll allgemein gelten, falls Y invertierbar:
> [mm]e^{Y*A*Y^{-1}}[/mm] = [mm]Y*e^{A}*Y^{-1}[/mm]
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das beweisen
> kann?
Hallo,
überleg' gerade mal, daß [mm] (YAY^{-1})^5=YA^5Y^{-1}.
[/mm]
Wenn Dir das klar ist, weißt Du, daß [mm] (YAY^{-1})^k=YA^kY^{-1}.
[/mm]
Es ist
[mm] $e^{Y*A*Y^{-1}}$ =\sum_{k=0}^\infty{(Y*A*Y^{-1})^k \over k!}= [/mm] ???
Nun kannst Du nach links Y herausziehen, nach rechts [mm] Y^{-1} [/mm]
und bekommst [mm] ...=Ye^AY^{-1}.
[/mm]
> 2. "Zerfällt das Minimalpolynom (bzw. das
> charakteristische Polynom) der Matrix X in Linearfaktoren
> (über ist das stets der Fall), dann kann X eindeutig in
> eine Summe X = A + N zerlegt werden,
> wobei A Diagonalmatrix ist (und damit das [mm]e^{A}[/mm] einfach
> berechenbar) und N nilpotent ist (und somit ist [mm]e^{N}[/mm]
> einfach berechenbar). Ausserdem gilt dann N*A = A*N, was
> die ganze Sache dann ganz einfach macht.
>
> Nur wieso funktioniert das immer bzw. was ist ein
> Minimalpolynom.
Das Minimalpolynom [mm] m_A [/mm] einer Matrix A ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für welches gilt: [mm] m_A(A)=0.
[/mm]
Wieso das funktioniert, solltest Du lieber in einem schlauen Buch nachlesen.
Nur mal soviel: wenn das Minimalpolynom von A in Linearfaktoren zerfällt, kann man A auf Jordannormalform J bringen, dh. es gibt eine invertierbare Matrix T mit [mm] TJT^{-1}=A.
[/mm]
Wenn Du Dir mal anschaust, wie Matrizen in JNF aussehen, s siehst Du leicht, wie Du J schreiben kannst als J=D'+N', wobei D' eine Diagonalmatrix ist und N' nilpotent.
Also hast Du [mm] A=T(D'+N')T^{-1}=TD'T^{-1}+TN'T^{-1}, [/mm] und es sind [mm] D:=TD'T^{-1} [/mm] und [mm] N=TN'T^{-1} [/mm] die diagonalisierbaren bzw. nilpotenten Matrizen, von denen oben die Rede ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Do 31.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke, das hat sehr geholfen. Gruss
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