Matrixexpfkt A diag. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
ich habe mir überlegt, wie man x'=Ax löst, wenn A diagonalisierbar ist.
Kann man in diesem Fall einfach [mm] e^A=T\*e^D\*T^{-1} [/mm] schreiben, wobei [mm] D=T^{-1}\*A\*T [/mm] die Diagonalgestalt von A ist. Wobei bei [mm] e^D [/mm] dann [mm] e^{\lambda_1}, [/mm] ... , [mm] e^{\lambda_k} [/mm] auf der Diagonalen stehen. Dann wäre [mm] x(t)=e^{A(t-t_0)}\*x(t_0) [/mm] die Lösung für das AWP x'=Ax, [mm] x(t_0)=x_0 [/mm] und A diagonalisierbar, wobei [mm] e^A [/mm] wie oben wäre. Stimmt das Ganze, oder ist das falsch????
Gruß Docy
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Hallo!
Deine Idee ist gut, und führt in die richtige Richtung, allerdings ist sie nicht korrekt.
[mm] $(\vec x)'=A\vec{x}$
[/mm]
Jetzt gehst du über in den Eigenraum von A, in dem A ja, wie du schreibst, diagonalgestalt hat.
Allerdings sieht in dieser anderen Basis natürlich auch [mm] \vec{x} [/mm] anders aus. Ich kennzeichne Elemente dieser Basis mal mit nem [mm] \ast
[/mm]
[mm] $(\vec x^\ast)'=A^\ast\vec{x^\ast}$ [/mm] wobei [mm] A^\ast [/mm] Diagonalgestalt hat.
Hier ist die Lösung jetzt tatsächlich [mm] $\vec x^\ast=\vec x^\ast_0e^{A^\ast(t-t_0)}$
[/mm]
Nun, das ist die Darstellung im Eigenraum, du willst aber die Darstellung in der "normalen" Basis, wozu du eine Transformationsmatrix T benutzt:
[mm] $\vec x=T\vec x^\ast=T\vec x^\ast_0e^{A^\ast(t-t_0)}$
[/mm]
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