Matrixeigenschaften < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 04.06.2007 | | Autor: | bastue |
| Aufgabe | a)
Sei S eine beliebe komplexe 3x3 Matrix. Zeige, dass es immer eine Matrix [mm] S^{+} [/mm] gibt mit [mm] =<\vec{r},S^{+}S\vec{r'} [/mm] und drücke sie durch S aus.
b) Zwei Matrizen A und B sind gleich , wenn [mm] = [/mm] für beliebige Vektoren r aus [mm] C^{3} [/mm] erfüllt sind |
Servus und guten Abend,
!!! Sorry, ich hab bemerkt, der ist hier in der falschen Kategorie, allerdings krieg ich es gerade nicht hin, den irgendwo ins "matrix-forum" zu verschieben.
ist mir ein bisschen peinlich so eine einfache Frage zu stellen, die ich eigentlich, da Funktionentheorie /lina passê ist , eigentlich selbst schnell beantworten können müsste, aber irgendwie ein Brett vorm Kopf hab, unser Phys.Tutor sagte, das kann man in ein paar Zeilen mit Matrix-eigenschaften aufschreiben.
Da das alles ein bisschen her ist, hab ich mir mal die unitären,hermitischen,schief,symmetrischen Matrizen angeschaut, aber noch nicht das Sprungbrett gefunden,Wahrscheinlich mal wieder mein generelles "Wiezeigichwaswiebeweisichwas"Problem, Dann hab ich angefangen die linke Seite komponentenweise aufzuschreiben und hab jetzt damit aufgehört, weil mich das sicher auch nicht weiterbringt. Auch bei B hab ich das komponentenweise Aufgeschrieben, aber komm da am Ende auf einen Ausdruck der mir nix bringt...
könnte mir jemand mit einem Zaunfahl-Tip, was ich mir mal ansehen sollte mal zuwinken ?
grüße
Basti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Di 05.06.2007 | | Autor: | bastue |
ok, a hab ich begriffen, nachdem ich mir mal den wikipedia-artikel zu adjungierten matrizen angeschaut hab
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[mm] = [/mm]
[mm] - = 0[/mm]
[mm] = 0[/mm]
[mm]<(A-B)r,r> = 0[/mm]
Überlege: Wann ist das Skalarprodukt Null, für welche r soll das gelten, was weisst du dann über A-B.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 05.06.2007 | | Autor: | bastue |
Naja das Skalarprodukt ist Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen, und das soll für alle Vektoren gelten, und deswegen kann die Bedingung nur erfüllt sein, wenn A-B =0 ist ?
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Hiho,
Deine Vorüberlegungen sind ok, nur nicht ausführlich begründet, daher wollen wir mal:
Also richtig ist, daß Skalarprodukt ist gleich Null, wenn die Vektoren Senkrecht zueinander stehen ODER einer der beiden Vektoren gleich dem Nullvektor ist.
Ersteres ist nicht möglich, da die Aussage ja für alle Vektoren gelten soll, also auch für solche die nicht senkrecht aufeinander stehen.
Bleibt also nur Aussage 2: Einer der beiden Vektoren ist der Nullvektor.
r selbst ist eben gerade nicht der Nullvektor für alle r sein, somit kann nur (A-B)r = 0 gelten. Und damit (A-B)r = 0 für alle r gilt, muss A-B die Nullmatrix sein, also A-B = 0 [mm] \gdw [/mm] A = B
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 05.06.2007 | | Autor: | bastue |
Moin,
danke für deine Antwort, ich seh aber, dass meine Antwort doch noch nicht durchdacht war.
Mir ist nicht ganz klar wie du sagst dass
"Ersteres ist nicht möglich, da die Aussage ja für alle Vektoren gelten soll, also auch für solche die nicht senkrecht aufeinander stehen. " Da steht doch ne Matrix vor ? Und , wieso muss man gar nicht berücksichtigen, dass r komplex ist ?
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> "Ersteres ist nicht möglich, da die Aussage ja für alle
> Vektoren gelten soll, also auch für solche die nicht
> senkrecht aufeinander stehen. " Da steht doch ne Matrix vor
> ? Und , wieso muss man gar nicht berücksichtigen, dass r
> komplex ist ?
Also: Du hast recht, da steht ja ne Matrix vor r, nämlich (A-B) und meine Aussage war nun, also betrachten wir also die Vektoren (A-B)r und r und meine Aussage war nun:
"Ersteres ist nicht möglich, da die Aussage ja für alle Vektoren gelten soll."
Eigentlich ist das nur rumgerechne, du nimmst an, es gibt so eine Matrix und zeigst, daß dies die Nullmatrix sein muss, ich nehm mal das Standartskalarprodukt:
Sei [mm]A-B = \pmat{ c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} }[/mm],
[mm]r = \vektor{r_1\\r_2\\r_3}[/mm]
Dann gilt:
[mm]0 = <(A-B)r,r>^2 = <\vektor{ c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3 \\ c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3 \\ c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3 },\vektor{r_1,r_2,r_3}>^2[/mm]
[mm] = r_1(c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3) + r_2(c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3) + r_3(c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3)[/mm]
[mm] = c_{11}r_1^2 + c_{12}r_1r_2 + c_{13}r_1r_3 + c_{21}r_1r_2 + c_{22}r_2^2 + c_{23}r_2r_3 + c_{31}r_1r_3 + c_{32}r_2r_3 + c_{33}r_3^2[/mm]
Das soll ja gleich Null werden für [mm] r_1,r_2,r_3 [/mm] beliebig, also muss gelten:
[mm]c_{12} = -c_{21}[/mm]
[mm]c_{13} = -c_{31}[/mm]
[mm]c_{23} = -c_{32}[/mm]
Dann bleibt stehen:
[mm]c_{11}r_1^2 + c_{22}r_2^2 + c_{33}r_3^2 = 0[/mm]
[mm]\Rightarrow c_{11} = c_{22} = c_{33} = 0[/mm]
Also hat (A-B) die Form:
[mm]A-B = \pmat{ 0 & c_{12} & c_{13} \\ -c_{12} & 0 & c_{23} \\ -c_{13} & -c_{23} & 0 }[/mm], mit den c's beliebig aus [mm] \IC.
[/mm]
Und wir sehen, ich hab vorhin quatsch erzählt 
Es gibt also so eine Matrix, so dass das gilt und damit haben wir auch die Aussage aus der Aufgabe widerlegt.... mal ne Frage: Welches Skalarprodukt ist da gemeint? Wobei das eigentlich keine Rolle spielen dürfte.......
Also momentan gibt es A,B mit [mm] A\not=B [/mm] und <Ar,r> = <Br,r>
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mi 06.06.2007 | | Autor: | bastue |
also das skalarprodukt wurde bei uns definiert als
<r,r'>=<r,r>* wobei r und r' Vektoren aus [mm] C^3 [/mm] sind
Ich habe noch gefunden
Für r aus [mm] R^3 [/mm] und reele Matrizen A und B folgt A=B aus (Ar,r)=(Br,r) nur dann wenn die beiden Matrizen symmetrisch sind, aber damit hat das wohl auch nix zu tun.
Ich weiß gerade nicht, vielleicht fällt mir morgen früh wieder was zu ein.
Kann man damit auch den zweiten Ansatz , also das (A-B)r = 0 sein muss vergessen?
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> <r,r'>=<r,r>* wobei r und r' Vektoren aus [mm]C^3[/mm] sind
Ahjo, nur was ist bei euch <r,r>* ??
Wenns nen beliebiges Skalarprodukt ist, stimmt die Aussage 2) ja nicht, denn ich hab dir ja gerade nen Gegenbeispiel konstruiert.
> Für r aus [mm]R^3[/mm] und reele Matrizen A und B folgt A=B aus
> (Ar,r)=(Br,r) nur dann wenn die beiden Matrizen symmetrisch
> sind, aber damit hat das wohl auch nix zu tun.
Jein, das ist letztendlich auch das, was wir gerade herausgefunden haben, aber wirklich weiter bringt uns das nicht (ausser, daß es die Rechnung oben bestätigt).
> Ich weiß gerade nicht, vielleicht fällt mir morgen früh
> wieder was zu ein.
> Kann man damit auch den zweiten Ansatz , also das (A-B)r =
> 0 sein muss vergessen?
Jap, weil wir ja eben gesehen haben, daß (A-B) nicht die Nullmatrix sein muss, sorry dafür, aber ich habs auch erst in der Rechnung gemerkt......
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Mi 06.06.2007 | | Autor: | bastue |
also [mm] *=\summe_{i=1}^{3}x*x [/mm] wobei x* das komplex konjugierte ist. so hatten wirs aufgeschrieben
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Hiho,
kanns sein, daß du vorhin nen ' vergessen hast.
Deine Aussage war vorhin <r,r'> = <r,r>*, müsste es nicht aber <r',r>* heissen, dann machts Sinn.
Und dann stimmt der Beweis von vorhin auch, nur die ^2 zu beginn müssen weg.
(Das kommt daher,weil das Standartskalarprodukt in [mm] \IR^3 \sqrt{\summe_{i=1}^{3}x_i*x_i} [/mm] ist und ich die Wurzel wegbekommen wollte. Da bei euch aber keine steht, kannst dir das ^2 sparen, der rest bleibt gleich).
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Mi 06.06.2007 | | Autor: | bastue |
Ja pardon, ich hatte mich natürlich verschrieben,
aber nun bin ich verwirrt.
Dein Beweis stimmt doch ?
Es war doch eben von dir der Beweis, dass es nicht so ist?
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> Dein Beweis stimmt doch ?
> Es war doch eben von dir der Beweis, dass es nicht so ist?
Hiho,
ich meinte, mein Beweis stimmt, somit ist die Aussage falsch ;)
Was ich nur wundert, ist, daß ihr etwas Beweisen sollt, was augenscheinlich falsch ist. Vielleicht in der Aufgabenstellung was vergessen mit hinzuschreiben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 06.06.2007 | | Autor: | bastue |
Hast du denn auch das komplexe konjugierte Skalarprodukt beachtet ? Ich hänge die Aufgabe b nochmal an, vielleicht war ich ja zu doof zu lesen oder zu tippen :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ok, dann wird mir jetzt einiges klarer
Dann wollen wir mal:
Wir hatten das ja Umgeformt zu [mm]<(A-B)r,r> = 0[/mm]
Dann muss aber auch gelten [mm] = 0[/mm]
Und somit [mm]<(A-B)r,r> = [/mm].
Nun gilt einerseits:
[mm] <(A-B)r,r> = <\vektor{ c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3 \\ c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3 \\ c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3 },\vektor{r_1,r_2,r_3}>[/mm]
[mm]= r_1(c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3)* + r_2(c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3)* + r_3(c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3)*[/mm]
[mm]= r_1( c_{11}*r_1* + c_{12}*r_2* + c_{13}*r_3*) + r_2(c_{21}*r_1* + c_{22}*r_2* + c_{23}*r_3*) + r_3(c_{31}*r_1* + c_{32}*r_2*+ c_{33}*r_3*)[/mm]
[mm] = c_{11}*r_1*r_1 + c_{12}*r_2*r_1 + c_{13}*r_3*r_1 + c{21}*r_1*r_2 + c_{22}*r_2*r_2 + c_{23}*r_3*r_2 + c_{31}*r_1*r_3 + c_{32}*r_2*r_3 + c_{33}*r_3*r_3[/mm] (1)
Andererseits:
[mm] = r_1*(c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3) + r_2*(c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3) + r_3*(c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3)[/mm]
[mm] = c_{11}r_1r_1* + c_{12}r_2r_1* + c{13}r_3r_1* + c_{21}r_1r_2* + c{22}r_2r_2* + c_{23}r_3r_2* + c_{31}r_1r_3* + c_{32}r_2r_3* + c_{33}r_3r_3*[/mm] (2)
Nun ist (1) = (2) genau dann, wenn gilt (Koeffizientenvergleich):
[mm]c_{11}* = -c_{11}[/mm]
[mm]c_{12}* = -c_{21}[/mm]
[mm]c_{13}* = -c_{31}[/mm].
[mm]c_{21}* = -c_{12}[/mm] (ich denke du siehst jetzt, wie es läuft)
.
.
.
Allgemein muss gelten: [mm]c_{ij}* = -c{ji} \forall i,j[/mm]
Das setzt du jetzt in (1) ein und ersetzt die Koeffizienten der gemischten Glieder geeignet (also die, wo nicht zweimal die Komponente drinsteht), dann steht da:
[mm] = c_{11}*r_1*r_1 + c_{12}*r_2*r_1 + c_{13}*r_3*r_1 - c_{12}r_1*r_2 + c_{22}*r_2*r_2 + c_{23}*r_3*r_2 + -c_{13}r_1*r_3 + -c_{23}r_2*r_3 + c_{33}*r_3*r_3[/mm]
Umstellen:
[mm] = c_{11}*r_1*r_1 + c_{22}*r_2*r_2 + c_{33}*r_3r_3 + (c_{12}*r_2*r_1 - c_{12}r_2r_1*) + (c_{13}*r_3*r_1 - c_{13}r_3r_1*) + (c_{23}*r_3*r_2 - c_{23}r_3r_2*)[/mm]
[mm] = c_{11}*r_1*r_1 + c_{22}*r_2*r_2 + c_{33}*r_3r_3 + ([c_{12}r_2r_1])* - c_{12}r_2r_1*) + ([c_{13}r_3r_1*]* - c_{13}r_3r_1*) + ([c_{23}r_3r_2*]* - c_{23}r_3r_2*)[/mm]
So, und hier kannst du jetzt argumentieren, daß die [mm]c_ij = 0 \forall i\not= j[/mm] sein müssen. Warum?
Naja, in jeder Klammer mit gemischten Therm, steht ja etwas in der Form z* - z. Also Konjugiertkomplexes - Komplexe Zahl, und das ist im Allgemeinen nicht Null. Da die r-Komponenten beliebig, gilt das nur, wenn [mm]c_ij = 0 \forall i\not= j[/mm]
Bleibt also stehen:
[mm] c_{11}*r_1*r_1 + c_{22}*r_2*r_2 + c_{33}*r_3*r_3 [/mm] und das soll gleich null sein.
Naja, [mm] r_i*r_i [/mm] ist grösser gleich null und damit das immer null wird, müssen die [mm] c_{ii} [/mm] null werden.....
=> [mm] \forall c_{ij} [/mm] = 0
=> A-B = Nullmatrix
=> A = B
Eklig, obs noch einfacher geht, weiss ich net, mir ist nur der Weg eingefallen nach nem bissl grübeln^^
Gruß,
Gono.
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Ok, dann wird mir jetzt einiges klarer
Dann wollen wir mal:
Wir hatten das ja Umgeformt zu [mm]<(A-B)r,r> = 0[/mm]
Dann muss aber auch gelten [mm] = 0[/mm]
Und somit [mm]<(A-B)r,r> = [/mm].
Nun gilt einerseits:
[mm] <(A-B)r,r> = <\vektor{ c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3 \\ c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3 \\ c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3 },\vektor{r_1 \\ r_2 \\r_3}>[/mm]
[mm]= r_1(c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3)\* + r_2(c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3)\* + r_3(c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3)\*[/mm]
[mm]= r_1( c_{11}\*r_1\* + c_{12}\*r_2\* + c_{13}\*r_3\*) + r_2(c_{21}\*r_1\* + c_{22}\*r_2\* + c_{23}\*r_3\*) + r_3(c_{31}\*r_1\* + c_{32}\*r_2\*+ c_{33}\*r_3\*)[/mm]
[mm] = c_{11}\*r_1\*r_1 + c_{12}\*r_2\*r_1 + c_{13}\*r_3\*r_1 + c{21}\*r_1\*r_2 + c_{22}\*r_2\*r_2 + c_{23}\*r_3\*r_2 + c_{31}\*r_1\*r_3 + c_{32}\*r_2\*r_3 + c_{33}\*r_3\*r_3[/mm] (1)
Andererseits:
[mm] = r_1\*(c_{11}r_1 + c_{12}r_2 + c_{13}r_3) + r_2\*(c_{21}r_1 + c_{22}r_2 + c_{23}r_3) + r_3\*(c_{31}r_1 + c_{32}r_2+ c_{33}r_3)[/mm]
[mm] = c_{11}r_1r_1\* + c_{12}r_2r_1\* + c{13}r_3r_1\* + c_{21}r_1r_2\* + c{22}r_2r_2\* + c_{23}r_3r_2\* + c_{31}r_1r_3\* + c_{32}r_2r_3\* + c_{33}r_3r_3\*[/mm] (2)
Nun ist (1) = (2) genau dann, wenn gilt (Koeffizientenvergleich):
[mm]c_{11}\* = -c_{11}[/mm]
[mm]c_{12}\* = -c_{21}[/mm]
[mm]c_{13}\* = -c_{31}[/mm].
[mm]c_{21}\* = -c_{12}[/mm] (ich denke du siehst jetzt, wie es läuft)
.
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Allgemein muss gelten: [mm]c_{ij}\* = -c{ji} \forall i,j[/mm]
Das setzt du jetzt in (1) ein und ersetzt die Koeffizienten der gemischten Glieder geeignet (also die, wo nicht zweimal die Komponente drinsteht), dann steht da:
[mm] = c_{11}\*r_1\*r_1 + c_{12}\*r_2\*r_1 + c_{13}\*r_3\*r_1 - c_{12}r_1\*r_2 + c_{22}\*r_2\*r_2 + c_{23}\*r_3\*r_2 + -c_{13}r_1\*r_3 + -c_{23}r_2\*r_3 + c_{33}\*r_3\*r_3[/mm]
Umstellen:
[mm] = c_{11}\*r_1\*r_1 + c_{22}\*r_2\*r_2 + c_{33}\*r_3r_3 + (c_{12}\*r_2\*r_1 - c_{12}r_2r_1\*) + (c_{13}\*r_3\*r_1 - c_{13}r_3r_1\*) + (c_{23}\*r_3\*r_2 - c_{23}r_3r_2\*)[/mm]
[mm] = c_{11}\*r_1\*r_1 + c_{22}\*r_2\*r_2 + c_{33}\*r_3r_3 + ([c_{12}r_2r_1])\* - c_{12}r_2r_1\*) + ([c_{13}r_3r_1\*]\* - c_{13}r_3r_1\*) + ([c_{23}r_3r_2\*]\* - c_{23}r_3r_2\*)[/mm]
So, und hier kannst du jetzt argumentieren, daß die [mm]c_ij = 0 \forall i\not= j[/mm] sein müssen. Warum?
Naja, in jeder Klammer mit gemischten Therm, steht ja etwas in der Form [mm] z\* [/mm] - z. Also Konjugiertkomplexes - Komplexe Zahl, und das ist im Allgemeinen nicht Null. Da die r-Komponenten beliebig, gilt das nur, wenn [mm]c_ij = 0 \forall i\not= j[/mm]
Bleibt also stehen:
[mm] c_{11}\*r_1\*r_1 + c_{22}\*r_2\*r_2 + c_{33}\*r_3\*r_3 [/mm] und das soll gleich null sein.
Naja, [mm] r_i\*r_i [/mm] ist grösser gleich null und damit das immer null wird, müssen die [mm] c_{ii} [/mm] null werden.....
=> [mm] \forall c_{ij} [/mm] = 0
=> A-B = Nullmatrix
=> A = B
Eklig, obs noch einfacher geht, weiss ich net, mir ist nur der Weg eingefallen nach nem bissl grübeln^^
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 06.06.2007 | | Autor: | bastue |
Hi, danke erstmal für deine gute Antwort. Ich habe noch eine letzte Nachfrage zu deiner Bearbeitung , du sagst
>
>So, und hier kannst du jetzt argumentieren, daß die sein müssen. >Warum?
>Naja, in jeder Klammer mit gemischten Therm, steht ja etwas in der >Form - z. Also Konjugiertkomplexes - Komplexe Zahl, und das ist im >Allgemeinen nicht Null. Da die r-Komponenten beliebig, gilt das nur, >wenn ...
Wie kommst du denn darauf, dass die ganzen Klammern Null sein müssen ? Klar, es dreht sich immer noch alles ums Skalarprodukt und der komplette Ausdruck soll Null werden, aber wieso setzt du mit den Klammern an in denen quasi ( Z*-Z) steht ?
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Hiho,
ich könnte auch mit dem Ausdruck [mm] c_{11}r_1\*r_1 [/mm] beginnen und argumentieren, daß das [mm] c_{11} [/mm] null sein muss. Oder meinst du, warum ich aus (Z*-Z) folgern kann, daß das jeweilige c null wird?
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Fr 08.06.2007 | | Autor: | bastue |
Nein, das meinte ich. Aber hat sich mir schon selbst erklärt :) Danke für deine Mühe ! Die Musterlösung war übrigens vergleichsweise einfach, 3 Zeilen lang. Aber naja, das Ziel ist ja dasselbe.
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