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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Es geht um das Diagonlaisieren: Sei [mm] B:\IC^2->\IC^2 [/mm] mit [mm] B=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] |
Ich habe zuerst die EW bestimmt = i,-i, danach die Eigenvektoren
[mm] v_1=\vektor{-i \\ 1} v_2=\vektor{i \\ 1} (C=(v_1,v_2)) [/mm] Außerdem besitzt [mm] \IC^2 [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von B, daher ist entsprechende Abb diagonalisierbar.
Wie komme ich jedoch auf [mm] [B]_{CC}=\pmat{ i & 0\\ 0 & -i }?
[/mm]
Ich weiß das allgemein die Matrix eine Diagonalmatrix oder obere Dreiecksmatrix sein muss. Die Diagonalelemente sind ja genau die Eigenwerte.
Was wäre aber ein Beispiel einer Abbildung wo die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis eine obere Dreiecksmatrix wäre. (Also wenn char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt.)
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moin Lonpos,
Da du hier zwei verschiedene Eigenwerte hast, wird das ganze eine Diagonalmatrix.
Anders wäre es etwa, wenn du zweimal den selben Eigenwert hast, wenn also das charakteristische Polynom etwa die Form [mm] $(x-1)^2$ [/mm] hat.
Dann könnte die Matrix nach wie vor diagonalisierbar sein, es könnte aber auch sein, dass sie diese Form hat:
$B = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}$
[/mm]
Dieses $B$ ist (wenn du mir nicht glaubst kannst du das gern versuchen^^) nicht diagonalisierbar; obwohl das charakteristische Polynom ( [mm] $(x-1)^2$ [/mm] ) in Linearfaktoren zerfällt.
Aber: Dass bei den Linearfaktoren einer mehrfach auftritt ist (über [mm] $\IC$) [/mm] eine notwendige Bedingung dafür, dass du die Matrix nicht diagonalisiert bekommst, keine hinreichende.
Es gibt auch Matrizen, die das erfüllen und trotzdem diagonalisierbar sind (zB die Einheitsmatrix).
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es geht um das Diagonlaisieren: Sei [mm]B:\IC^2->\IC^2[/mm] mit
> [mm]B=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> Ich habe zuerst die EW bestimmt
> = i,-i, danach die Eigenvektoren
>
> [mm]v_1=\vektor{-i \\ 1} v_2=\vektor{i \\ 1} (C=(v_1,v_2))[/mm]
> Außerdem besitzt [mm]\IC^2[/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von B,
> daher ist entsprechende Abb diagonalisierbar.
>
> Wie komme ich jedoch auf [mm][B]_{CC}=\pmat{ i & 0\\ 0 & -i }?[/mm]
Das folgt doch aus der Def. des Begriffs "Abbildungsmatrix" !
Mit der Basis [mm] C=(v_1,v_2) [/mm] des [mm] \IC^2 [/mm] ist
[mm] $Bv_1=i*v_1+0*v_2$ [/mm] und [mm] $Bv_2=0*v_1+(-i)*v_2$
[/mm]
FRED
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> Ich weiß das allgemein die Matrix eine Diagonalmatrix oder
> obere Dreiecksmatrix sein muss. Die Diagonalelemente sind
> ja genau die Eigenwerte.
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> Was wäre aber ein Beispiel einer Abbildung wo die
> Abbildungsmatrix bzgl. der Basis eine obere Dreiecksmatrix
> wäre. (Also wenn char. Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lonpos |
Danke für eure Hilfe.
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