Matrixbestimmung zu EW < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Es seien [mm] \lambda_1,...,\lambda_n(nicht [/mm] unbedingt verschieden) und B=(v1,...,vn) eine Basis des [mm] K^n.
[/mm]
Nun soll eine (abstrakte) Matrix bestimmt werden, sodass [mm] \lambda_i [/mm] ein EW von A ist mit dem zugehörigen EV vi für alle i=1,...,n. |
Hallo,
gibt es bei dieser Art von Aufgaben vielleicht ein bestimmtes system, wie ich es lösen könnte, weil mir im Moment noch garnicht klar ist, was es mit dem [mm] v_i [/mm] auf sich hat und ich daher einfach keien richtigen Ansatz finde. Ich würde aber auch gerne verstehen, was dahinter steckt und wie ich damit umzugehen habe! Kann mir das vielleicht jemand bitte versuchen klar zu machen?!
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> Es seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n(nicht[/mm] unbedingt
> verschieden) und B=(v1,...,vn) eine Basis des [mm]K^n.[/mm]
> Nun soll eine (abstrakte) Matrix bestimmt werden, sodass
> [mm]\lambda_i[/mm] ein EW von A ist mit dem zugehörigen EV vi für
> alle i=1,...,n.
> Hallo,
> gibt es bei dieser Art von Aufgaben vielleicht ein
> bestimmtes system, wie ich es lösen könnte, weil mir im
> Moment noch garnicht klar ist, was es mit dem [mm]v_i[/mm] auf sich
> hat und ich daher einfach keien richtigen Ansatz finde. Ich
> würde aber auch gerne verstehen, was dahinter steckt und
> wie ich damit umzugehen habe! Kann mir das vielleicht
> jemand bitte versuchen klar zu machen?!
Hallo,
Matrizen repräsentieren lineare Abbildungen.
Die lineare Abbildung f mit der Darstllungsmatrix A, die hier gerade untersucht wird, halt die Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] mit dem zugehörigen Eigenvektor [mm] v_i.
[/mm]
Nach Voraussetzung bilden diese Eigenvektoren eine Basis des [mm] K^n.
[/mm]
Wie lautet die darstellende Matrix von f bzgl der Basis [mm] B:=(v_1,...,v_n)?
[/mm]
Eine Basistransformation führt Dich dann zur Darstellungsmatrix von A bzgl der Standardbasis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ok - etwas klarer ist mir di frage nun schon gewprden, aber bei folgendem bin ich mir noch nicht so sicher:
Muss ich also ein matrix A finden, die insgemant n EW, nämlich [mm] \lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n [/mm] besitzt?
Oder reicht ein Eigenwert aus?
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> Ok - etwas klarer ist mir di frage nun schon gewprden, aber
> bei folgendem bin ich mir noch nicht so sicher:
>
> Muss ich also ein matrix A finden, die insgemant n EW,
> nämlich [mm]\lambda_1,[/mm] ..., [mm]\lambda_n[/mm] besitzt?
> Oder reicht ein Eigenwert aus?
Hallo,
die soll genau die n angegebenen Eigenwerte und -vektoren haben.
Wie lautet denn eigentlich die Tansformationsmatrix [mm] _ET_B [/mm] für den Übergang von [mm] B=(v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] zu Koordinaten bzgl der Standardbasis E?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
> Wie lautet denn eigentlich die Tansformationsmatrix [mm]_ET_B[/mm]
> für den Übergang von [mm]B=(v_1,[/mm] ..., [mm]v_n)[/mm] zu Koordinaten
> bzgl der Standardbasis E?
Also so wie ich das verstanden hatte kann man diese Transformationsmatrix errechne, indem man die EV als Spaltenvektoren von T setzt.
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> > Wie lautet denn eigentlich die Tansformationsmatrix [mm]_ET_B[/mm]
> > für den Übergang von [mm]B=(v_1,[/mm] ..., [mm]v_n)[/mm] zu Koordinaten
> > bzgl der Standardbasis E?
>
> Also so wie ich das verstanden hatte kann man diese
> Transformationsmatrix errechne, indem man die EV als
> Spaltenvektoren von T setzt.
hallo,
ja, genau.
Dann hast Du's ja jetzt eigentlich.
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Naja - von haben kann hier wohl noch nicht die Rede sein, aber ich kann jetzt auf jeden fall mal anfangen das ganz Stück für Stück zu durchdenken, da wird nämlich sicher noch viel mehr hintertecken - danke dir schonmal :)
Könntest du vielleicht nocmal erläutern, was du mit diesem Satz meinst:
,,Eine Basistransformation führt Dich dann zur Darstellungsmatrix von A bzgl der Standardbasis."
Eine Basistransformation wovon und was bringt mir das für die allg. Form der Matrix?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Mir ist noch nicht wirklich klar, warum überhaupt ein Bsiswechseel vollzogen wetden muss und in welchem Zusammenhang. kann mir das bitte nochmal jemand erklären?
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> Mir ist noch nicht wirklich klar, warum überhaupt ein
> Bsiswechseel vollzogen wetden muss und in welchem
> Zusammenhang. kann mir das bitte nochmal jemand erklären?
Hallo,
meine erste Antwort hast Du studiert?
Wie lautet die Darstellungsmatrix bzgl. der Eigenbasis?
Ist Dir der Zusammenhang zwischen matrizen und linearen Abbildungen bekannt und hast Du die darstellenden Matrizen bzgl verschiedener Basen prinzipiell verstanden?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Antwort hast Du studiert?
>
Ja, die habe ich mir jetzt schon ein paar Mal angeswehen, aber ch verstehe den letzten Teil jetzt trotzdem nicht.
> Wie lautet die Darstellungsmatrix bzgl. der Eigenbasis?
>
Meinst du die Matrix [mm] M^{E}_E, [/mm] die nichts verändert?!
> Ist Dir der Zusammenhang zwischen matrizen und linearen
> Abbildungen bekannt
Ja, den habe ih denke ich ganz gut verstnaden!
und hast Du die darstellenden Matrizen
> bzgl verschiedener Basen prinzipiell verstanden?
UNd hier muss ich gesthene, dass mir das Proinzip darstellender Matrizen klar ist, auch ihre Schrwibweise und so, ebenso ihr Zweck, aber irgendwie verwirren sie mich trotzdem ständig!
Ich kann mit Ihnene einfch noch nicht so gut umgehen und weiiß auch nicht, wieso du voher von der Basis E in diesen Zusammenhängen gesprochen hast - sollte das einfach nur ein Standartbasis sein, in die wir die Matrix überführen wollen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Könnte mir bitte mal jemand das System und Prinzip der Aufgabe an einem Besipiel erläutern - ich verstehe so langsam immer weniger - irgendwie komme ich absout nicht weiter!
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> Könnte mir bitte mal jemand das System und Prinzip der
> Aufgabe an einem Besipiel erläutern -
Hallo,
"Beispiel" ist vielleicht eine gute Idee.
Wir suchen eine Matrix mit den Eigenwerten [mm] \{\lambda_1=-3, \lambda_2=0, \lambda_3=3}\ [/mm] und den zugeörigen Eigenvektoren
zum Eigenwert -3:
[mm] v_1=\vektor{-5 \\ -1 \\2}
[/mm]
zum Eigenwert 0:
[mm] v_2=\vektor{-4\\-1\\2}
[/mm]
zum Eigenwert 3:
[mm] v_3=\vektor{1\\-1\\3}.
[/mm]
Sei f die durch A dargestellte Abbildung: [mm] \IR^3\to \IR^3.
[/mm]
Wir wissen
[mm] f(v_1)=-3*v_1
[/mm]
[mm] f(v_2)=0*v_2
[/mm]
[mm] f(v_3)=3*v_3
[/mm]
Es ist [mm] B:=(v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Die darstellende Matrix [mm] _BM(f)_B [/mm] von f bzgl. dieser Basis lautet: [mm] _BM(f)_B=\pmat{-3&0&0\\0&0&0\\0&0&3}.
[/mm]
Gesucht ist nun die Matrix [mm] _EM(f)_E, [/mm] die diese Abbildung bzgl der Standardbasis E darstellt.
Wir bekommen sie, indem wir mit den passenden Transformationsmatrizen multiplizieren:
[mm] _EM(f)_E=_ET_B*_BM(f)_B*_BT_E,
[/mm]
also
[mm] _EM(f)_E=\pmat{-5&-4&1\\-1&-1&-1\\2&2&3}*\pmat{-3&0&0\\0&0&0\\0&0&3}*(\pmat{-5&-4&1\\-1&-1&-1\\2&2&3})^{-1}
[/mm]
= eine Matrix, die die oben angegebenen Eigenwerte und Eigenvektoren hat.
Wir haben hier als die Diagonalisierung "rückwärts" vorgenommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hey Angela,
das hat mir glaube ich wirklich richtig viel gebracht - auch nicht nur für diese Aufgabe - ich hatte vorher garnicht so richtig kapiert, was eigentlich mir der darstellenden Matrize bzgl. der EV nun gemenit war.
Vielen dank, dass du dir so viel Mühe gibst.
Ich werde mir das jetzt gleich nnoch ein zweites mal genau ansehen und dann versuchen auf die ,,abstarktere" Aufgabe zu übetragen - mal sehen ob es dann klappt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 16.01.2010 | | Autor: | LariC |
Also - die matrix A müsste dann immer von folgender Form sein:
[mm] \pmat{ \lambda_1v1_1 & \lambda_1v2_1 & ... & \lambda_1vn_1 \\ ... & ... & ...\\ \lambda_nv1_n & \lambda_nv2_n & ... & \lambda_nvn_n} [/mm] * (v1 ... vn)^(-1)
Der Weg dahin ist mir rein logisch gesehen auch bis auf ein Stelle ziemlich klar - die bekomme ich aber denke ich noch hin :)
Ist das soweit korrekt und kann ich noch was mit der Inversen der Transformationsmatrix verschönern?
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> Also - die matrix A müsste dann immer von folgender Form
> sein:
>
> [mm]\pmat{ \lambda_1v1_1 & \lambda_1v2_1 & ... & \lambda_1vn_1 \\ ... & ... & ...\\ \lambda_nv1_n & \lambda_nv2_n & ... & \lambda_nvn_n}[/mm]
> * (v1 ... vn)^(-1)
Hallo,
die Matrix ist doch
[mm] \pmat{v_1&v_2&\dots&v_n}*diag(\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n)*\pmat{v_1&v_2&\dots&v_n}^{-1},
[/mm]
warum das so ist, würde ich erklären, und ansonsten nichts mehr rechnen.
Wenn Du unbedingt das erste Produkt ausführen wilst, dann ist es so übersichtlicher: ...=
[mm] \pmat{\lambda_1v_1&\lambda_2v_2&\dots\\\lambda_nv_n}
[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt und kann ich noch was mit der
> Inversen der Transformationsmatrix verschönern?
Ich finde, daß jede Verschönerung eher verschleiert als erklärt.
Gruß v. Angela
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