Matrix von bezüglich der Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Di 19.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Sei [mm] $G_\alpha [/mm] : [mm] R^2 \to R^2$ [/mm] die lineare Transformation, welche die Drehung um den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] beschreibt.
(i) Bestimmen Sie die Matrix von [mm] $G_\alpha$ [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] $R^2$
[/mm]
(ii)Zeige, dass [mm] $G_\alpha [/mm] * [mm] G_\beta=G_{\alpha+\beta}$
[/mm]
Zu i
Das ist doch die Abbildung
[mm] $G_\alpha R^2 \to R^2 [/mm] $
$ [mm] \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $G(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}cos(\alpha) \\sin(\alpha)\end{pmatrix}
[/mm]
$
[mm] $G(\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-sin(\alpha)\\cos(\alpha) \end{pmatrix}
[/mm]
$
Also ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis {(1.0),(0,1) }
[mm] $\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\sin(\alpha) &cos(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] $
Viele Grüße!!
Nadia..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Di 19.04.2011 | | Autor: | Lippel |
> Sei [mm]G_\alpha : R^2 \to R^2[/mm] die lineare Transformation,
> welche die Drehung um den Winkel [mm]\alpha[/mm] beschreibt.
>
> (i) Bestimmen Sie die Matrix von [mm]G_\alpha[/mm] bezüglich der
> Standardbasis von [mm]R^2[/mm]
> (ii)Zeige, dass [mm]G_\alpha * G_\beta=G_{\alpha+\beta}[/mm]
>
> Zu i
>
> Das ist doch die Abbildung
> [mm]G_\alpha R^2 \to R^2 [/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]G(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix})[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}cos(\alpha) \\sin(\alpha)\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]G(\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix})[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}-sin(\alpha)\\cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Also ist die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis
> {(1,0),(0,1) }
> [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\sin(\alpha) &cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
Genau. Für Aufgabenteil 2 musst du dann nur nachrechnen dass [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\sin(\alpha) &cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos(\beta) & -sin(\beta) \\sin(\beta) &cos(\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sin(\alpha+\beta) \\sin(\alpha+\beta) &cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}[/mm]
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Do 21.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank
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