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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mo 28.01.2013 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei [mm] V [mm] \subset R^4[/mm] [mm] der von [mm] [mm] v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] v_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm] aufgespannte Untervektorraum.
Finden Sie eine Matrix [mm] A [mm] \in R^{2x4}[/mm] [mm], so dass V der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystem Ax=0 ist. |
Hallo zusammen,
leider habe ich bei dieser Aufgabe überhaupt keine Ahnung wie man anfangen soll oder kann.
Muss ich [mm] [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2[/mm] [mm] als Matrix schreiben und dann elementare Zeilenumformungen machen oder so???
Wäre echt super, wenn mir jemand eine Idee oder "Anleitung" schreiben könnte, lösen würde ich es ansonsten nämlich gerne selber.
GLG ohlala
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moin,
Die Idee, deren Richtigkeit du natürlich noch begründen/beweisen müsstest, ist folgende:
Schreibe [mm] $v_1, v_2$ [/mm] in eine Matrix $X$.
Dann ist $A [mm] \in \IR^{2\times 4}$ [/mm] gesucht mit $AX = 0$.
Wir können dies transponieren und erhalten das äquivalente Gleichungssystem
[mm] $X^{T}A^{T} [/mm] = 0$.
Nun ist $X$ bekannt, also haben wir hier ein klassisches Gleichungssystem und können $A$ bestimmen; die Zeilen von $A$ (was ja den Spalten von [mm] $A^{T}$ [/mm] entspricht) können als Basis des obigen Lösungsraums gewählt werden.
Wenn du das so machst, erhältst du eine Matrix $A$ mit $Av = 0$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$.
Du müsstest dann allerdings noch beweisen, dass $Aw [mm] \neq [/mm] 0$ für alle $w [mm] \not\in [/mm] V$, da steckt noch ein wenig Arbeit und ein paar Dimensionsargumente drin.
lg
Schadow
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