Matrix potenzieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 21.02.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] A^{n}, [/mm] wenn gilt D := [mm] S^{-1}*A*S^{n} [/mm] und Matrix D in Diagonalform vorliegt. |
Hallo,
ich habe zwar die Lösung nämlich [mm] A^{n} [/mm] = S * [mm] A^{n} [/mm] * [mm] S^{-1}, [/mm] aber wie kommt man da bitte drauf? Ich bin nur bis [mm] A^{n} [/mm] = (S * D * [mm] S^{-1})^{n} [/mm] gekommen, aber wie gehts da weiter?
Vielen Dank für euren Lösungsweg.
Gruß,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 21.02.2008 | | Autor: | Kroni |
> Berechnen Sie [mm]A^{n},[/mm] wenn gilt D := [mm]S^{-1}*A*S^{n}[/mm] und
> Matrix D in Diagonalform vorliegt.
> Hallo,
Hi,
>
> ich habe zwar die Lösung nämlich [mm]A^{n}[/mm] = S * [mm]A^{n}[/mm] *
> [mm]S^{-1},[/mm] aber wie kommt man da bitte drauf? Ich bin nur bis
> [mm]A^{n}[/mm] = (S * D * [mm]S^{-1})^{n}[/mm] gekommen, aber wie gehts da
> weiter?
Ja. Du weist ja, dass [mm] D=S^{-1}AS [/mm] => SD=AS => [mm] SDS^{-1}=A
[/mm]
Nun berechnest du, wie du richtig scheibst [mm] A^{n}=(SDS^{-1})^n
[/mm]
Du weist bestimmt, dass [mm] A^n=\underbrace{A*A*A*A*....*A }_{n-mal}
[/mm]
Setzt man nun für [mm] A^n (SDS^{-1})^n [/mm] und schreibt das aus, so siehst du:
[mm] (SDS^{-1})*(SDS^{-1})*(SDS^{-1})*.....*(SDS^{-1})*(SDS^{-1})
[/mm]
Nun, jetzt siehst du, dass da ziemlich oft [mm] S^{-1} [/mm] und S nebeneinander stehen, und sich so aufgrund des Assoziativgesetzes gegenseitig zur Einheitsmatrix wegheben. D.h. du kannst diese auch einfach weglassen.
Wenn du dir das jetzt so weiter vorstellst, dann siehst du, dass sich in der Mitte zwischen den ganzen Faktoren [mm] S^{-1} [/mm] und S immer aufhebne, nur nicht am linken Rand (da bleibt S stehen) und rechts (da bliebt [mm] S^{-1} [/mm] stehen).
In der Mitte sehen dann genau n-Mal das D nebeneinander, was man dann auch wieder als [mm] D^n [/mm] schreiben kann.
Aus dieser Argumentation folgt:
[mm] A^n=(SDS^{-1})^n=SD^nS^{-1} [/mm] q.e.d
Ich hoffe, du kannst der Argumentation gut folgen.
LG
Kroni
> Vielen Dank für euren Lösungsweg.
>
> Gruß,
> Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 21.02.2008 | | Autor: | Audience |
Okay.. Danke! Jetzt hab ichs verstanden.. warum nicht gleich so 
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