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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Madabaa |
| Aufgabe | Betrachte die n x n Matrix
[mm] J_{\alpha}:= \pmat{ \alpha & 1 & 0 & . & 0 \\ 0 & . & .& .& . \\ . & . & . & . & 0 \\ .& . & . & . & 1 \\ 0 & . & . & 0 & \alpha \\}
[/mm]
1) Für welches [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist die Matrix [mm] J_{\alpha} [/mm] nilpotent
2) Berechne [mm] J_{\alpha}^{k} [/mm] für k [mm] \in \IN
[/mm]
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Hallo,
könnte mir jemand einen Gedanken stoß geben, denn ich weiß nicht wie ich mit der Aufgabe beginnen soll.
MFG
Madabaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Blech |
> könnte mir jemand einen Gedanken stoß geben, denn ich
> weiß nicht wie ich mit der Aufgabe beginnen soll.
Fang bei 2) mit [mm] $J_\alpha^2$ [/mm] an und mach dann mit höheren Potenzen weiter.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
ist besimmt eine blöde Frage, aber wie mache ich das jetzt. Ich weiß zwar wie man Matrizen potenziert,aber weiß jetzt überhaupt nicht wie ich es hier anwenden soll.
MFG
Madabaa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Blech |
Zeile um Zeile, Spalte um Spalte.
Das Ergebnis hat wieder eine einfache Struktur. Du siehst schnell, wie die Matrix ausschauen wird.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
[mm] J_{\alpha}^2:= \pmat{ \alpha^2 & 2\alpha & 1 & . & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 2\alpha& .& . \\ . & . & . & . & 1 \\ .& . & . & . & 2\alpha \\ 0 & . & . & 0 & \alpha^2 \\}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt, sieht wie eine Dreiecksmatrix aus.
LG Madabaa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
> [mm]J_{\alpha}^2:= \pmat{ \alpha^2 & 2\alpha & 1 & . & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 2\alpha& .& . \\ . & . & . & . & 1 \\ .& . & . & . & 2\alpha \\ 0 & . & . & 0 & \alpha^2 \\}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt,
Tut es.
> sieht wie eine Dreiecksmatrix aus.
Bonusbeweis (ist einfach):
Rechte obere (bzw. linke untere) Dreiecksmatrix mal rechte obere (linke untere) Dreiecksmatrix ergibt wieder eine rechte obere (linke untere) Dreiecksmatrix. =)
>
> LG Madabaa
Jetzt [mm] $J_\alpha^3$. [/mm] Wenn nötig [mm] $J_\alpha^4$. [/mm] Dann sollte ein Muster klar werden. Das Muster mußt Du dann nur noch begründen (Stichwort Pascalsches Dreieck).
Wann die Matrix nilpotent ist, folgt dann unmittelbar.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
Ok ich werde das jetzt versuchen und Danke für deine bisherige Hilfe
LG
Madabaaa
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