Matrix mit unb. Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Gerd52 |
Hallo,
habe folgende Aufgabe und versuche mir gerade l.Algebra anzueignen. Verstehe aber folgende Aufgabe nicht richtig.
Bestimmte zu folg. Matrix A alle Matrizen B, die mit A vertauschbar sind, für die also gilt A*B = B*A :
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 }
[/mm]
mal soll für B einen Ansatz in Form einer Matrix mit unbekannten Elementen darstellen.
Aus der Beziehung A*B = B*A folgt dann ein unterbestimmtes Gleichungssystem für die unbekannten Matrixelemente.
meine Frage:
wie viele Zeilen und Spalten muss B besitzen?
wie sieht denn nun die Matrizen für B aus, die mit A vertauschbar sind? ( [mm] \vec{0}, \vec{A})?
[/mm]
Wie sieht in etwa dieses unterbestimmtest Gleichungssystem aus?
mein Ansatz sieht etwa so aus
[mm] \pmat{ 0 & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
[mm] \pmat{ a11 & 0 & 0 \\ a21 & a22 & 0 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] * [mm] \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 } [/mm]
besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 08.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> meine Frage:
> wie viele Zeilen und Spalten muss B besitzen?
du weißt ja, wie die Matrizenmultiplikation definiert ist, oder?
A ist eine 3x3 Matrix
aus A*B folgt schon mal, dass B 3 Zeilen haben muss.
aus B*A folgt, dass B auch 3 Spalten haben muss
also sind beide Produkte nur definiert, wenn B auch eine 3x3 Matrix ist.
Das heißt, dein Ansatz ist schonmal teilweise richtig, du musst nur noch ein Gleichungssystem daraus machen und dieses dann lösen:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} } [/mm] = [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} } [/mm] $
hier erhälst du für jedes $ [mm] c_{ij} [/mm] $ eine Gleichung, die von den b's abhängt
Beispiel: $ [mm] c_{11}=1*b_{11}+0+0 [/mm] $
und mit :
$ [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} } [/mm] $
erhältst du noch eine Gleichung für dieselben $ [mm] c_{ij} [/mm] $
Beispiel:
$ [mm] c_{11}=1*b_{11} [/mm] + [mm] 3*b_{12} [/mm] + [mm] 1*b_{13} [/mm] $
wenn du diese nun gleichsetzt und alle auf eine Seite bringst, bekommst du ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten.
Am Beispiel:
$ [mm] 1*b_{11}=c_{11}=1*b_{11} [/mm] + [mm] 3*b_{12} [/mm] + [mm] 1*b_{13} [/mm] $
[mm] $\gdw 3*b_{12} [/mm] + [mm] 1*b_{13}=0$
[/mm]
Das entstandene Gleichungssystem musst du nun lösen - mit Gauß und Co...
viele Grüße
DaMenge
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