Matrix mit exp < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] M=exp(\sigma_{1}\theta), [/mm] mit [mm] \sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}.
[/mm]
Beweise die folgende Identität: [mm] M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta), [/mm] wobei E die Einheitsmatrix ist. |
Hallo,
ich hab hier so ein paar Probleme mit dem, was ich machen soll. Erstmal finde ich es komisch, dass in der Exponentialfunktion eine Matrix steht. Ich kann da mit nicht so recht etwas anfangen. Mit dem Umschreiben komme ich dementsprechend nicht viel weiter. Muss man da irgendwo Eigenwerte berechnen? Aber wie?
Gruß Unk
|
|
| |
|
> Sei [mm]M=exp(\sigma_{1}\theta),[/mm] mit
> [mm]\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Beweise die folgende Identität: [mm]M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta),[/mm]
> wobei E die Einheitsmatrix ist.
> Hallo,
>
> ich hab hier so ein paar Probleme mit dem, was ich machen
> soll. Erstmal finde ich es komisch, dass in der
> Exponentialfunktion eine Matrix steht. Ich kann da mit
> nicht so recht etwas anfangen. Mit dem Umschreiben komme
> ich dementsprechend nicht viel weiter. Muss man da irgendwo
> Eigenwerte berechnen? Aber wie?
>
> Gruß Unk
Hallo,
ich nehme mal an, daß [mm] \theta\in \IR [/mm] sein soll.
Du sollst also [mm] exp(\begin{pmatrix}0 & \theta\\
\theta & 0\end{pmatrix} [/mm] berechnen.
Schreibe exp(x) als Exponentialreihe, und setze dann für x Deine Matrix ein. Dann weißt Du, was gemeint ist.
Fürs weitere Vorgehen könnten Eigenwerte etc. eine gute Idee sein...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Unk |
Hallo nochmal,
inwiefern brauche ich da Eigenwerte? Was ich nun habe ist das:
[mm] \mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}
[/mm]
und weiterhin weiß ich noch:
[mm] \mbox{sinh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} [/mm] und [mm] \mbox{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}
[/mm]
Betrachtet man gerade Potenzen von [mm] \sigma_1, [/mm] so ist das die Einheitsmatrix, bei ungeraden bleibt es [mm] \sigma_1.
[/mm]
Weiter umformen konnte ich es bisher aber nicht.
Jetzt stecke ich aber fest. Muss ich die Reihen irgendwie trennen?
Oder wo spielen da nun Eigenwerte eine Rolle?
Gruß Unk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Mo 01.03.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> inwiefern brauche ich da Eigenwerte?
das ist eine andere Art und Weise, an die Aufgabe heranzugehen. Du kannst die Matrix diagonalisieren, und benutzen dass [mm] $(T^{-1} [/mm] D [mm] T)^n [/mm] = [mm] T^{-1} D^n [/mm] T$ ist.
> Was ich nun habe ist das:
>
> [mm]\mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}[/mm]
>
> und weiterhin weiß ich noch:
> [mm]\mbox{sinh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}[/mm] und
> [mm]\mbox{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}[/mm]
Schreib mal die Reihenentwicklung hin.
> Betrachtet man gerade Potenzen von [mm]\sigma_1,[/mm] so ist das die
> Einheitsmatrix, bei ungeraden bleibt es [mm]\sigma_1.[/mm]
Genau.
> Weiter umformen konnte ich es bisher aber nicht.
Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm] $Reihe_1 \cdot [/mm] E + [mm] Reihe_2 \cdot \sigma_1$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Unk |
Hallo,
> Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm]Reihe_1 \cdot E + Reihe_2 \cdot \sigma_1[/mm].
>
> LG Felix
>
Genau so hatte ich das vor. Ich bin mal soweit gekommen: [mm] \mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}\\&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(2i)!}\theta^{2i}E+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)!}\theta^{2i-1}\sigma_{1}.
[/mm]
Ich erkenne da aber noch nicht die Hyperbelfunktionen, also entweder ist es falsch, oder ich muss noch etwas mehr machen.
Es gilt ja [mm] \mbox{cosh}(\theta)=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\theta^{i}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{\theta^{i}}\right].
[/mm]
Kann ich das noch irgendwie umformen, dass da dann mein Endergebnis steht?
Gruß Unk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Mo 01.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm]Reihe_1 \cdot E + Reihe_2 \cdot \sigma_1[/mm].
>
> Genau so hatte ich das vor. Ich bin mal soweit gekommen:
> [mm]\mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}\\&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(2i)!}\theta^{2i}E+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)!}\theta^{2i-1}\sigma_{1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich erkenne da aber noch nicht die Hyperbelfunktionen, also
> entweder ist es falsch, oder ich muss noch etwas mehr
> machen.
>
> Es gilt ja
> [mm]\mbox{cosh}(\theta)=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\theta^{i}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{\theta^{i}}\right].[/mm]
Nein, das gilt nicht. Hier hast du dich eindeutig verrechnet.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 01.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Beweise die folgende Identität: [mm]M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta),[/mm]
Wenn man ODEs gemacht hat, kann man die Gleichung beweisen, in dem man zeigt, dass beide Gleichungen das AWP [m]\dot{x}=\sigma*x,\,\,x(0)=E[/m] lösen.
SEcki
|
|
|
|
