Matrix gesucht < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Niladhoc |
| Aufgabe | Welche orthogonale 3x3-Matrix [mm] A\not=E_3 [/mm] erfüllt die EIgenschaften
[mm] A^3=E_3 [/mm] und [mm] A*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Wie viele Lösungen gibt es? Gibt es auch eine uneigentlich orthogonale Matrix mit diesen Eigenschaften? |
Hallo,
Ich kann der Matrix leider nur sehr unzusammenhängende Eigenschaften entlocken.
Zunächst muss [mm] det(A)^3=1, [/mm] somit det(A)=1 sein. [mm] A^2=A^T=A^{-1}.
[/mm]
Sagen wir die Matrix sei diagonalisierbar, sprich [mm] S^{-1}AS=D, [/mm] so ist [mm] D^3=S^{-1}A^3S [/mm] und somit [mm] A=S^{-1}D^3S. [/mm] Dabei dürfen die Diagonaleinträge nicht alle gleich eins sein. Zur Konstruktion der zulässigen Matrizen hilft das glaub ich auch nicht viel, es kann ja auch nicht-diagonalisierbare Matrizen mit den Eigenschaften geben.
Kann mir jemand sagen, worauf man hier schauen muss?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 20.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich habe jetz nicht den sysematishen Ansatz. Dafür aber eine erste Idee.
Drei mal die Matrix auf etwas anwenden und es kommt wieder das ursprngliche heraus. Dann fallen die Speigelungen und Streckungen weg. Kandidaten sind die Drehungen um [mm] \pm [/mm] (60°) das sollte natürlich 120° heißen, wie es weiter untern steht.
Da [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] stehen bleiben soll, ist das die Drehachse.
Andere Lösungen sehe ich nicht, vielleicht jemand anderes.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 21.01.2010 | | Autor: | gfm |
Ich kram mal das zusammen was ich von damals(~10 Jahre her) noch im Kopf habe (ohne Gewähr!):
Orthogonale Matrizen des [mm] \IR^{3} [/mm] beschreiben Drehungen (Det =1) oder Drehspiegelungen (Det = -1). Ein Eigenwert ist = Det. Der Eigenvektor hierzu ist die Drehachse. Die andere beiden Eigenwerte sind konjugiert komplex.
In einer orthomormalen Basis welche als ersten Vektor den normierten Achsenvektor hat ist dann eine Darstellung
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi) \\ 0 & sin(\phi) & cos(\phi) } [/mm]
Es gibt unendlich viele ähnliche Matrizen, die auch den Zweck erfüllen, da man ja bei der Wahl der orthogonalen Einheitsvektoren aus der zur Drechachse senkrechten Ebene als Basisvektoren frei ist.
Da [mm] A^{3} [/mm] = 1 gelten soll, kommen nur Drehungen um [mm] 120^{\circ} [/mm] oder [mm] 240^{\circ} [/mm] in Frage.
LG
gfm
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