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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 27.05.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }\in\IR^{2\times 2}
[/mm]
Begründe, dass es ein [mm] B\in\IR^{2\times 2} [/mm] gibt mit [mm] B^2=A [/mm] und berechne B. |
Hi,
ich habe mir folgendes gedacht:
[mm] \pmat{ u & v \\ w & x }*\pmat{ u & v \\ w & x }=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ u & v \\ w & x }*\pmat{ u & v \\ w & x }=\pmat{ u^2+vw & vu+vx \\ wu+xw & wv+x^2 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] u^2+v*w=2
[/mm]
[mm] v*u+v*x=1\gdw [/mm] v*(u+x)=1
[mm] w*u+x*w=1\gdw [/mm] w*(u+x)=1
[mm] w*v+x^2=2
[/mm]
Aus
[mm] v\*(u+x)=1 [/mm] und [mm] w\*(u+x)=1 \Rightarrow [/mm] v=w
[mm] u^2+v*w=2
[/mm]
[mm] w*v+x^2=2
[/mm]
Subtrahiert man das Obere vom Unteren, so erhält man
[mm] u^2-x^2=0 \gdw u^2=x^2
[/mm]
Ab hier habe ich jetzt keine Ahnung mehr, wie es weitergehen soll. Bin ich es evtl. falsch angegangen? Oder wie muss ich weiterrechnen?
MfG
barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 27.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo barsch!
> Sei [mm]A=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }\in\IR^{2\times 2}[/mm]
>
> Begründe, dass es ein [mm]B\in\IR^{2\times 2}[/mm] gibt mit [mm]B^2=A[/mm]
> und berechne B.
Mach es doch mal ganz anders: argumentiere damit, dass die Matrix symmetrisch ist (also kann man sie ...) und das sie positiv (semi)definit ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 28.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
> Mach es doch mal ganz anders: argumentiere damit, dass die
> Matrix symmetrisch ist (also kann man sie ...) und das sie
> positiv (semi)definit ist.
Damit kann ich den ersten Teil zeigen; dass ein [mm] B\in\IR^{2\times 2} [/mm] mit [mm] B^2=A [/mm] existiert. Aber wie ich letztendlich B berechne, leuchtet mir noch nicht ganz ein.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo barsch!
Du hast doch schon gezeigt, dass B genauso wie A symmetrisch ist. Dann kannst du dir auch überlegen, dass die Eigenvektoren zu A dieselben wie zu B sind (x Eigenvektor zu Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von B, [mm] A*x=B*B*x=\lambda*B*x=\lambda^2*x) [/mm] Was heißt das für die Hauptachsentransformation von A bzw. B und deren Zusammenhang?
Gruß,
Vreni
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