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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mo 30.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR^3, [/mm] <,>) ein euklidischer Vektorraum und [mm] A\in \IR^{3x3} [/mm] eine Matrix mit
[mm] A=\pmat{2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2}
[/mm]
Finde eine orthogonale Matrix S [mm] \in [/mm] O(3), so dass [mm] S^{T}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo! Habe doch noch ein paar Probleme bei der Aufgabe.. Bis jetzt habe ich:
Eigenwerte errechnet: 0 und 3 (doppelt)
Eigenvektoren dazu sind:
Für 0: [mm] \pmat{-1\\-1\\1}
[/mm]
Für 3: [mm] \pmat{1\\0\\1}, \pmat{-1\\1\\0}
[/mm]
Jetzt habe ich auf die Eigenvektoren zum EW 3 Gram-Schmidt angewandt und habe 3 orthogonale Vektoren gefunden:
[mm] \pmat{-1\\-1\\1}, \pmat{1\\0\\1}, \pmat{-\bruch{1}{2}\\1\\\bruch{1}{2}}
[/mm]
Jetzt normalisiere ich die Vektoren und schreibe sie als Spaltenvektoren der gesuchten Matrix S:
[mm] S=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&-\bruch{1}{\wurzel{6}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{3}}&0&\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{6}} } \Rightarrow S^{T}=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{3}}&-\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{6}}&\bruch{2}{\wurzel{6}}&\bruch{1}{\wurzel{6}} }
[/mm]
Die Matrix S ist orthogonal, da [mm] S*S^{T}=E_n [/mm] allerdings komme ich mit [mm] S^{T}*A*S [/mm] nicht auf eine Diagonalmatrix. Woran liegt das? Was habe ich hierbei falsch gemacht??
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo chesn,
> Sei [mm](\IR^3,[/mm] <,>) ein euklidischer Vektorraum und [mm]A\in \IR^{3x3}[/mm]
> eine Matrix mit
>
> [mm]A=\pmat{2&-1&1\\
-1&2&1\\
1&1&2}[/mm]
>
> Finde eine orthogonale Matrix S [mm]\in[/mm] O(3), so dass [mm]S^{T}AS[/mm]
> eine Diagonalmatrix ist.
> Hallo! Habe doch noch ein paar Probleme bei der Aufgabe..
> Bis jetzt habe ich:
>
> Eigenwerte errechnet: 0 und 3 (doppelt)
>
> Eigenvektoren dazu sind:
>
> Für 0: [mm]\pmat{-1\\
-1\\
1}[/mm]
> Für 3: [mm]\pmat{1\\
0\\
1}, \pmat{-1\\
1\\
0}[/mm]
>
> Jetzt habe ich auf die Eigenvektoren zum EW 3 Gram-Schmidt
> angewandt und habe 3 orthogonale Vektoren gefunden:
>
> [mm]\pmat{-1\\
-1\\
1}, \pmat{1\\
0\\
1}, \pmat{-\bruch{1}{2}\\
1\\
\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Jetzt normalisiere ich die Vektoren und schreibe sie als
> Spaltenvektoren der gesuchten Matrix S:
>
> [mm]S=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&-\bruch{1}{\wurzel{6}} \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}}&0&\bruch{2}{\wurzel{6}} \\
\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{6}} } \Rightarrow S^{T}=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{3}}&-\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}} \\
-\bruch{1}{\wurzel{6}}&\bruch{2}{\wurzel{6}}&\bruch{1}{\wurzel{6}} }[/mm]
>
> Die Matrix S ist orthogonal, da [mm]S*S^{T}=E_n[/mm] allerdings
> komme ich mit [mm]S^{T}*A*S[/mm] nicht auf eine Diagonalmatrix.
> Woran liegt das? Was habe ich hierbei falsch gemacht??
Nichts, du hast dich nur am Schluss verrechnet. Ich komme bei [mm]S^t*A*S[/mm] auf das gewünschte [mm]\pmat{0&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3}[/mm].
> Vielen Dank schonmal!
Lieben Gruß,
Fulla
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