Matrix diagonalisierbar < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition
Eine Matrix A element M(n,n,K) heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist, wenn es also eine reguläre Matrix T so gibt, dass T^-1AT eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Definition verwirrt mich und ich kann mir darunter nicht so recht was vorstellen.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Schön, wäre es wenn jemand ein Beispiel dafür hätte!
Gruß
tasjasofie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 24.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Die Matrix [mm] $A\in M(n\times n,\IK)$ [/mm] repräsentiert eine lineare Abbildung [mm] $f:\IK^n\to\IK^n$. [/mm] Wenn $A$ diagonalisierbar ist, dann ist das gleichbedeutend damit, dass es eine Basis [mm] $\{b_1,...,b_n\}\subset\IK^n$ [/mm] und Zahlen [mm] $\lambda_1,...,\lambda_n\in\IK$ [/mm] gibt sodass [mm] $f(b_i)=\lambda_ib_i$ [/mm] für alle [mm] $1\le i\le [/mm] n$. Mit anderen Worten, es gibt eine Basis aus Eigenvektoren.
Gruß, Robert
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erstmal danke für die schnelle Antwort...
Leider hat sie mir nicht weiter geholfen, es steht so auch als Beweis in meinem Skript. Kannst du mir vielleicht etwas fassbareres, zb Aufgabe, die ich rechnen muss, damit ich es versteh aufschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 So 24.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Kannst du mir vielleicht etwas fassbareres, zb Aufgabe, die ich rechnen muss, damit ich es versteh aufschreiben?
Geometrisch gesehen sind diagonalisierbare Abbildungen einfach nur Streckungen/Spiegelungen (bzgl. eines geeigneten geradlinigen koordinatensystems!). Z.b. sind Drehungen der Ebene um den Ursprung um Winkel [mm] $\alpha\not\in\pi\cdot\IZ$ [/mm] keine Streckungen/Spiegelungen. Vielmehr Anschauung gibts da eigentlich nicht. Wenn ich dir eine beliebige quadratische Matrix vorgebe, dann sieht man ihr es i.A. nicht an ob sie diagonalisierbar ist oder nicht, aber das werdet ihr schon noch lernen. Da du ja anscheinend echte Mathe studierst gewöhn dich lieber dran keine Anschauung zu haben, die kommt meist später oder auch nicht 
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 24.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hi, betrachte die Matrix [mm] $\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }$.
[/mm]
Eigenvektoren stehen immer senkrecht aufeinander (also das Skalarprodukt von [mm] $\vec{EV}_{i}$ [/mm] und [mm] $\vec{EV}_{j}$ [/mm] ist immer 0, ausser wenn $i = j$ ist). Wenn Du eine Matrix bezüglich Deiner normalen Basis gegeben hast, ist die zwar nett, aber wenn Du sie diagonalisiert, hast Du quasi eine andere Basis eingeführt, die eben nur aus Eigenvektoren zur Matrix besteht. Das macht das Berechnen von Vektorgleichungen erheblich einfacher.
Gruß,
AT-Colt
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