Matrix bestimmen, Fibonacci < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sind die Fibonacci Zahlen gegeben durch:
[mm] f(n)=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \le 1 \\ f_{n-2} + f_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix F, sodass
[mm] F^{n-1} \vektor{ f_{0}\\ f_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{f_{n-1}\\ f_{n}} [/mm] |
huhu;)
bevor ich hier anfange erstmal 2 Verständnisfragen zu Aufgabenstellung:
1.es ist richtig davon auszugehen dass die matrix links multipliziert wird mit vektor [mm] \vektor{ f_{0}\\ f_{1}} [/mm] da dazwischen ja sonst nix steht
2. ist die erste zeile des vektors auf der rechten seite überhaupt möglich ungleich 0 zu sein wenn man links in der ersten zeile mit f0 = 0 mit 0 multipliziert?
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huhu nochma ich hab grad diese allgemeine formel entdeckt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{f0 \\ f1} [/mm] = [mm] \vektor{ f_{n}\\ f_{n+1}}
[/mm]
wäre eiiiigentlich ja analog zu meiner aufgabe und damit verbunden ja schon die lösung:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \vektor{f0 \\ f1} [/mm] = [mm] \vektor{ f_{n-1}\\ f_{n}}
[/mm]
muss ich also gar nichts beweisen oder so? wäre irgendwie zu einfach oder?
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m.E. reicht es da die Matrix anzugeben. Du solltest dir nur klar sein, warum eben die Matrix so aussieht.
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wie du ja schon entdeckt hast brauchst du nur die Matrix aufschreiben.
[mm]f_n=f_{n-1}+f_{n-2}[/mm]
dröselt man das auf kommt man eben auf
[mm]\vektor{f_1\\
f_2}=\pmat{0&1\\
1&1}\vektor{f_0\\
f_1}[/mm]
[mm]\vektor{f_2\\
f_3}=\pmat{0&1\\
1&1}\vektor{f_1\\
f_2}=\pmat{0&1\\
1&1}\pmat{0&1\\
1&1}\vektor{f_0\\
f_1}[/mm]
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