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| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrix X aus folgender Gleichung, indem Sie zunächst nach X
auflösen:
AXB – 2XB – 3D = 5C , mit
A = [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] ; B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] ; C = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 } [/mm] ; D = [mm] \pmat{ -2 & -3 \\ -3 & 2 } [/mm] |
Erstmal Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich als das behandelt wurfe nicht in der Vorlesung war und die Folien meines Dozenten doch sehr zu wünschen übrig lassen, wäre ich sehr dankbar, wenn mir bei der Aufgabe jemend recht detailliert helfen könnte.
Ich weiß, dass man bestimmte Gesetzmäßigkeiten zu beachten hat, wenn man das umstellen möchte (Ich glaube Kommutativgesetz gilt nicht!?).
Ich habe mir das jetzt wie folgt gedacht (alle fetten Buchstaben sind Matrizen):
AXB – 2XB – 3D = 5C | + 3D
[mm] \gdw [/mm] AXB – 2XB = 5C + 3D
und dann wirds schon langsam knapp, ich habe dann links B ausgeklammert, weiß aber nicht ob das wirklich nützlich ist?!
[mm] \gdw [/mm] B*(AX - 2X) = 5C + 3D
Jetzt könnte ich ja die gesamte Gleichung mal [mm] B^{-1} [/mm] nehmen, ich glaube das müsste dann das sein:
[mm] \gdw B^{-1} \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] ( AX - 2X ) = [mm] B^{-1} \cdot [/mm] ( 5C + 3D )
[mm] \gdw [/mm] E [mm] \cdot [/mm] ( AX - 2X ) = [mm] B^{-1} \cdot [/mm] ( 5C + 3D )
aber wenn das so geht, weiß ich nicht, warum das [mm] B^{-1} [/mm] rechts vom Gleichheitszeichen ganz nach vorne muss, also ich meine das müsste so sein ich habe aber keine Ahnung warum! Hatte es glaub ich mal so gesehen.
Jetzt weiß ich aber gar nicht mehr weiter...
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Gruß DerdersichSichnennt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 03.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie die Matrix X aus folgender Gleichung, indem
> Sie zunächst nach X
> auflösen:
> AXB – 2XB – 3D = 5C , mit
> A = [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm] ; B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm]
> ; C = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }[/mm] ; D = [mm]\pmat{ -2 & -3 \\ -3 & 2 }[/mm]
>
> Ich weiß, dass man bestimmte Gesetzmäßigkeiten zu beachten
> hat, wenn man das umstellen möchte (Ich glaube
> Kommutativgesetz gilt nicht!?).
Richtig. Im Allgemeinen gilt bei Matrizen [mm] $AB\not=BA$. [/mm] Unter anderem deshalb gilt auch nicht für Matrizen:
[mm] $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$.
[/mm]
>
> Ich habe mir das jetzt wie folgt gedacht (alle fetten
> Buchstaben sind Matrizen):
>
> AXB – 2XB – 3D = 5C | + 3D
> [mm]\gdw[/mm] AXB – 2XB = 5C + 3D
Das 3D auf die rechte Seite zu bringen ist gut. Allerdings hast du jetzt schlecht ausgeklammert.
Das B steht doch beides mal auf der rechten Seite, deshalb muss es nach dem Ausklammern $(AX-2X)B$ heißen.
Um jetzt das B wegzubekommen, auf beiden Seiten von rechts mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] multiplizieren, damit das B weggeht. Deshalb musst du dann aber auch auf beiden Seiten von rechts mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] mult. damit das okay geht. (Vorraussetzung ist, dass B invertierbar ist).
>
Jetzt musst du weiter rechnen, und versuchen, irgendwann nach X freizustellen.
lG
Kroni
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Ich habe das jetzt deiner Erläuterung entsprächend umgesetzt und zwar wie folgt (mache jetzt mal Schritt für Schritt aus später genanntem Grund):
(AX – 2X)B = 5C + 3D | * [mm] B^{-1}
[/mm]
(AX – 2X)B * [mm] B^{-1} [/mm] = (5C + [mm] 3D)*B^{-1}
[/mm]
(AX – 2X) = (5C + [mm] 3D)*B^{-1}
[/mm]
Das, war ja das was du meintest. Im nächsten Schritt habe ich X ausgeklammert:
(A – 2)X = (5C + [mm] 3D)*B^{-1} [/mm] | * [mm] (A^{-1} [/mm] – [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
X = [mm] (A^{-1} [/mm] – [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [(5C + [mm] 3D)*B^{-1}]
[/mm]
Jetzt habe ich die passenden Werte eingesetzt:
X = [mm] (\pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 0 }^{-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [(5 * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 } [/mm] + 3 * [mm] \pmat{ -2 & -3 \\ -3 & 2 }) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }^{-1}]
[/mm]
X = [mm] (\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [mm] [(\pmat{ 5 & 10 \\ 10 & -5 } [/mm] + [mm] \pmat{ -6 & -9 \\ -9 & 6 }) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 }]
[/mm]
X = [mm] (\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [mm] (\pmat{ -1 & 1
\\ 1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 })
[/mm]
X = [mm] (\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [mm] \pmat{ -2 & 1
\\ 0 & 1 }
[/mm]
X = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 2 } [/mm] - [mm] \pmat{ -0,5 & 0
\\ 0,5 & -0,5 }
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen, da das richtige Ergebnis laut meines Dozenten
X = [mm] \pmat{ -4 & 1 \\ -2 & 0 }
[/mm]
ist.
Kann mir jemand sagen, wo ich einen Fehler habe?!
Vielen Dank!
DerdersichSichnennt
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> Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!
>
> Ich habe das jetzt deiner Erläuterung entsprächend
> umgesetzt und zwar wie folgt (mache jetzt mal Schritt für
> Schritt aus später genanntem Grund):
>
> (AX – 2X)B = 5C + 3D | * [mm]B^{-1}[/mm]
>
> (AX – 2X)B * [mm]B^{-1}[/mm] = (5C + [mm]3D)*B^{-1}[/mm]
>
> (AX – 2X) = (5C + [mm]3D)*B^{-1}[/mm]
>
> Das, war ja das was du meintest.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Im nächsten Schritt habe ich X ausgeklammert:
>
> [mm](A- 2)X = (5C + 3D)*B^{-1}[/mm] | * [mm](A^{-1}-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> $X = [mm] (A^{-1}-\bruch{1}{2}) [/mm] * (5C + [mm] 3D)*B^{-1}$
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hättest beidseitig von links mit [mm] $(A-2E)^{-1}$ [/mm] multiplizieren müssen, wobei $E$ die [mm] $2\times [/mm] 2$ Einheitsmatrix sei. Denn es gilt nicht, was Du hier anzunehmen scheinst, dass [mm] $(U-V)^{-1}=U^{-1}-V^{-1}$ [/mm] ist.
Wenn man also
[mm](A- 2E)X = (5C + 3D)*B^{-1}[/mm]
beidseitig von links mit [mm] $(A-2E)^{-1}$ [/mm] multipliziert, so erhält man:
[mm]X=(A-2E)^{-1}\cdot (5C+3D)\cdot B^{-1}[/mm]
>
> Jetzt habe ich die passenden Werte eingesetzt:
Versuch's nochmals mit der oben vorgeschlagenen Auflösung nach $X$.
<snip/>
> X = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 2 }[/mm] - [mm]\pmat{ -0,5 & 0
\\ 0,5 & -0,5 }[/mm]
>
> Das kann aber nicht stimmen, da das richtige Ergebnis laut
> meines Dozenten
> X = [mm]\pmat{ -4 & 1 \\ -2 & 0 }[/mm]
> ist.
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Vielen Dank für die Hilfe!
Habe das jetzt noch mal so durchgerechnet und dann kommt auch das erwartete Ergebnis raus!
Danke und schönen Tag noch,
DerdersichSichnennt
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