Matrix aus Eigenwerten best. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab hier ein Beispiel wo ich nicht ganz weiter weiß:
Bsp.: Finden Sie eine 3x3 Matrix mit Eigenwerten 1,2,3 sodaß die entsprechenden Eigenvektoren
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Kann mir wer sagen wie ich da vorgehen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Nam |
Sie [mm]f[/mm] die lineare Abbildung mit den Eigenwerten 1, 2, 3 und den genannten Eigenvektoren dazu. [mm]B = \left\{\vektor{2 \\ -1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 2 \\ -1}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2} \right\}[/mm] bildet eine Basis (weil linear unabhängig, kannst du mit der Determinante überprüfen).
Dann ist natürlich [mm]L := M_B[f] = \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right)[/mm].
Diese Matrix L transformierst du jetzt mit einer Basistransformation in die Standardbasis [mm]E[/mm]. Es gilt:
[mm]M_E[f] = M_{E,B}[id] * M_B[f] * \left(M_{E,B}[id]\right)^{-1}[/mm]
und [mm]M_{E,B}[id] = \left(\begin{matrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{matrix}\right)[/mm]
Diese Matrix musst du nur noch invertieren und dann die Basistransformation machen.
Raus kommt [mm]M_E[f][/mm] (die Matrix von f in der Standardbasis), mit den gewünschten Eigenschaften.
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