Matrix aufstellen EW bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:33 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Die Aufgabe habe ich von hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg349/ |
Hey zusammen,
also ich häng gerade bei dieser Aufgabe. Also EW berechnen und die EVdann bestimmen ist kein Problem, nur wie komm ich auf das M?
ich hab schon den Ansatz gehabt:
[mm] \vektor{x 1/4y \\ y + 3/4x}
[/mm]
aber ich glaub ich versteh nicht mal wie das mit dem Umsatz gemeint ist.
Wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Habs doch noch hinbekommen:
habs so gemacht:
x = Umsatz bisher Firma A
y = Umsatz bisher Firma B
[mm] Umsatz_neu_A [/mm] = 0.75x + 0.25y
[mm] Umsatz_neu_B [/mm] = 0.25x + 0.75y
Das hab ich passend in die Matrix eingetragen:
[mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
Mein Problem ist jetzt nur, wo steht nachher was im Vektor?
[mm] \vektor{a \\ b}
[/mm]
Ist b der [mm] "Umsatz_neu_B" [/mm] ?
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Hallo,
> Habs doch noch hinbekommen:
> habs so gemacht:
>
> x = Umsatz bisher Firma A
> y = Umsatz bisher Firma B
>
> [mm]Umsatz_neu_A[/mm] = 0.75x + 0.25y
> [mm]Umsatz_neu_B[/mm] = 0.25x + 0.75y
>
> Das hab ich passend in die Matrix eingetragen:
> [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt nur, wo steht nachher was im
> Vektor?
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> Ist b der [mm]"Umsatz_neu_B"[/mm] ?
Natürlich!
Genau so hast du doch oben den Ansatz gemacht. Es ist
[mm] $\vektor{A_{neu}\\ B_{neu}} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}*\pmat{3 & 1\\ 1 & 3}*\vektor{A\\ B}$
[/mm]
Rechne es aus (Matrimultiplikation), und du siehst, das genau das dasteht, was du bei deinem Ansatz hingeschrieben hast.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Bei der c) komme ich jetzt doch nicht weiter.
Ich hab mal angefangen das von Hand aufzuschreiben, z.B.
1.Jahr: [mm] \vektor{0 \\ \bruch{3}{4} y}
[/mm]
2.Jahr: [mm] \vektor{\bruch{1}{4} y \\ \bruch{5}{8} y}
[/mm]
dann hab ich beides zusammengezählt (also im ersten Jahr ist 1% 3/400) aber irgendwie wird bei mir das nie kleiner als 1%...
und gibts da eine elegante Variante, als das für alle Jahre einzeln aufzuschreiben?
Danke =)
Ps: sry wegen der Aufgabe, nächstesmal werde ich sie reinschreiben!
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Hallo,
> Bei der c) komme ich jetzt doch nicht weiter.
>
> Ich hab mal angefangen das von Hand aufzuschreiben, z.B.
> 1.Jahr: [mm]\vektor{0 \\ \bruch{3}{4} y}[/mm]
Du solltest mit deiner Matrix arbeiten. Nach der weißt du, dass am Anfang der Umsatz der Firma A (erste Zeile) und der Firma B (zweite Zeile) so aussieht:
[mm] \vektor{0\\y}.
[/mm]
Ein Jahr vergeht - das ist dasselbe wie wenn man die Matrix von oben an diesen Vektor dranmultipliziert:
[mm] \pmat{\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}}*\vektor{0\\y}.
[/mm]
Nach n Jahren sieht's also so aus:
[mm] \pmat{\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}}^{n}*\vektor{0\\y}
[/mm]
So, und du solltest die Eigenwerte nicht umsonst berechnen - du willst ja nun eine explizite Formel für die Potenz der Matrix hinschreiben können. Dazu diagonalisiere die Matrix in die Form
A = [mm] S^{-1}DS, [/mm]
dann ist
[mm] A^{n} [/mm] = [mm] S^{-1}D^{n}S,
[/mm]
und Diagonalmatrizen kann man leicht potenzieren (jedes Element der Hauptdiagonalen wird potenziert).
So kannst du nun leicht die Umsätze der beiden Firmen nach n Jahren angeben, und auch die Aufgabe lösen.
Grüße,
Stefan
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> Die Aufgabe habe ich von hier:
>
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg349/
Hallo,
interessanter als woher die Aufgabe kommt, ist, wie sie lautet...
Ist Dir klar, daß es für potentielle Helfer umständlich ist, wenn man die Aufgabe und Rechnung dazu nicht auf einen Blick sehen kann?
Gruß v. Angela
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