Matrix, Rang, Dimensionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:25 So 26.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien V und W Vektorräume und f: V --> W eine lineare Abbildung. Die Matrix zu f bezüglich der Basen von V und W ist durch
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 &13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 } [/mm] gegeben. Bringen Sie A durch die elementaren Umformungen (S1), (S2), (S3) und (Z1),
(Z2), (Z3) in die Dreiecksform und geben Sie rg(A), dim (V), dim(W), dim(im(f)), dim(ker(f)) an. |
S1= Vertauschen von Zeile I und Zeile II also dann
[mm] \pmat{ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 10 & 11 & 12 &13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 } [/mm]
S2 = III - 2II und IV - 3I
S3 = IV : 2 und III + II, IV +II
[mm] \pmat{ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Wie kann ich jetzt noch die Nullen auf der anderen Seite erzeugen, so dass da
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
steht? Geht das überhaupt?
rg (A) = 2
dim (V) und dim ( W) lassen sich einfach aus der Matrix ablesen oder?
dim ( V ) = Anzahl der Spalten = 5 dim(W) = Anzahl der Zeilen = 4
dim (im(f) = rg (A) = 2
und dim (ker(f)) = n - rg (A) mit n = Anzahl der Spalten
dim(ker(f)) = 3
Rangsatz ist damit auch erfüllt.
Ist das so richtig?
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> Es seien V und W Vektorräume und f: V --> W eine lineare
> Abbildung. Die Matrix zu f bezüglich der Basen von V und W
> ist durch
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 &13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 }[/mm]
> gegeben. Bringen Sie A durch die elementaren Umformungen
> (S1), (S2), (S3) und (Z1),
> (Z2), (Z3) in die Dreiecksform und geben Sie rg(A), dim
> (V), dim(W), dim(im(f)), dim(ker(f)) an.
> S1= Vertauschen von Zeile I und Zeile II also dann
> [mm]\pmat{ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 10 & 11 & 12 &13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 }[/mm]
>
> S2 = III - 2II und IV - 3I
>
> S3 = IV : 2 und III + II, IV +II
>
> [mm]\pmat{ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt noch die Nullen auf der anderen Seite
> erzeugen, so dass da
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> steht? Geht das überhaupt?
Hallo,
wenn nur Zeilenumformungen erlaubt sind, geht es nicht.
>
> rg (A) = 2
>
> dim (V) und dim ( W) lassen sich einfach aus der Matrix
> ablesen oder?
> dim ( V ) = Anzahl der Spalten = 5 dim(W) = Anzahl der
> Zeilen = 4
> dim (im(f) = rg (A) = 2
> und dim (ker(f)) = n - rg (A) mit n = Anzahl der Spalten
> dim(ker(f)) = 3
> Rangsatz ist damit auch erfüllt.
> Ist das so richtig?
Ja.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Und wenn auch Spaltenumformungen möglich sind? Könnte ich dann einfach sagen (Z2) = Spalte II-1,2I und III-1,4I und IV - 1,6I und V-1,8I sowie (Z3) = Spalte III-2I und IV-3I und V-4I?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
verlangt war ja nur Dreiecksform, da man daraus schon alles verlangte ablesen kann sollte das riechen, da da auch noch Z i usw in der Aufgabe stet, weiss ich nicht, ob du die Diagonalform erzeugen sollst, wenn ja, so wie du sagst.
Gruß leduart
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