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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:40 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IC^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Es gilt det(exp(A)) = exp(Spur(A))
b) Ist [mm] A^{2} [/mm] = I , so ist exp(A) = 1/2 ( e + 1/e)I + 1/2(e-1/e)A |
Guten Morgen,
a) Also ich weiß, dass exp(Spur(A)) = [mm] e^{a_{1}} [/mm] * ... * [mm] e^{a_{n}} [/mm] für [mm] a_{1} [/mm] ... [mm] a_{n} [/mm] als Eigenwerte von A.
Bei det(exp(A)) weiß ich schonmal, dass det(exp(A)) = det(exp(J)), wobei J natürlich die Jordan Normalform von A ist. Ich weiß auch, dass det(exp(J)) = det ( I + 1/2 [mm] J^{2} [/mm] + ...) . Mir ist auch klar, dass ( I + 1/2 [mm] J^{2} [/mm] + ...) eine obere Dreiecksmatrix ist, aber wieso sind auf der Hauptdiagonalen ausschließlich [mm] e^{a_{1...n}} [/mm] ?
Ich habe auch versucht anders an die Sache heranzugehen: Sei J ein
Jordanblock, d.h. J = D + N mit einer Diagonalmatrix D und einer nilpotenten
Matrix N. Was ich nicht verstehe ist: det(exp(N)) = 1, wieso?
b) Hier habe ich eigentlich nicht wirklich einen Ansatz. Habe versucht mir klar zu machen, wie exp(A) aussieht: exp(A) = I + A/1! + I/2! + A/3! + I/4! + A/5! + ... = A/1! + A/3! + A/5! + ... + I + I/2! + I/4! + ... = 1/2 I (2+ 1 + 48 + ... ) + 1/2 A ( 2 + 12 + 240 + ...)
Demnach müsste 2+ 1 + 48 + ... = e + 1/e und 2 + 12 + 240 + ... = e-1/e sein. Ich glaube, dass der Ansatz bestimmt total falsch ist, weil ich keine Ahnung habe, warum das gelten sollte ..
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Richler
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> Sei A [mm]\in \IC^{n,n}.[/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
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> a) Es gilt det(exp(A)) = exp(Spur(A))
> b) Ist [mm]A^{2}[/mm] = I , so ist exp(A) = 1/2 ( e + 1/e)I +
> 1/2(e-1/e)A
> Guten Morgen,
>
> a) Also ich weiß, dass exp(Spur(A)) = [mm]e^{a_{1}}[/mm] * ... *
> [mm]e^{a_{n}}[/mm] für [mm]a_{1}[/mm] ... [mm]a_{n}[/mm] als Eigenwerte von A.
Hallo,
ja.
>
> Bei det(exp(A)) weiß ich schonmal, dass det(exp(A)) =
> det(exp(J)), wobei J natürlich die Jordan Normalform von A
Ja.
> ist. Ich weiß auch, dass det(exp(J)) = det ( I + 1/2 [mm]J^{2}[/mm]
> + ...) .
Das mit den Püntchen müßtest Du eigentlich etwas genauer schreiben - aber ich weiß, was Du meinst.
> Mir ist auch klar, dass ( I + 1/2 [mm]J^{2}[/mm] + ...)
> eine obere Dreiecksmatrix ist, aber wieso sind auf der
> Hauptdiagonalen ausschließlich [mm]e^{a_{1...n}}[/mm] ?
Notier doch mal das 1.,2.,3. Diagonalelement von exp(J). Dann wirst Du es verstehen.
>
> Ich habe auch versucht anders an die Sache heranzugehen:
> Sei J ein
> Jordanblock, d.h. J = D + N mit einer Diagonalmatrix D und
> einer nilpotenten
> Matrix N. Was ich nicht verstehe ist: det(exp(N)) = 1,
> wieso?
Du weißt, wie N aussieht (Diagonale)?
Schreib Dir exp(N) hin. Diagonale?
Zu b)
Wie lautet [mm] e^1 [/mm] als Reihe?
Und wie lautet [mm] e^{-1}?
[/mm]
Ich denke, das hilft etwas weiter.
LG Angela
> b) Hier habe ich eigentlich nicht wirklich einen Ansatz.
> Habe versucht mir klar zu machen, wie exp(A) aussieht:
> exp(A) = I + A/1! + I/2! + A/3! + I/4! + A/5! + ... = A/1!
> + A/3! + A/5! + ... + I + I/2! + I/4! + ... = 1/2 I (2+ 1 +
> 48 + ... ) + 1/2 A ( 2 + 12 + 240 + ...)
>
> Demnach müsste 2+ 1 + 48 + ... = e + 1/e und 2 + 12 + 240
> + ... = e-1/e sein. Ich glaube, dass der Ansatz bestimmt
> total falsch ist, weil ich keine Ahnung habe, warum das
> gelten sollte ..
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
>
> Richler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Richler |
Danke für deine Antwort =) ... Die 1. Aufgabe habe ich jetzt, aber bei der 2. haperts :
exp(1)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}
[/mm]
exp(-1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n})}{n!}
[/mm]
1/2 ( e + [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] = [mm] \bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}}) [/mm]
1/2 ( e + [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] I = [mm] diag(\bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}}) [/mm] , ... , [mm] \bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}}) [/mm] )
1/2 ( e - [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} * \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n})}{n!} -1}{2 \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1^{n})}{n!}} [/mm]
Was bringt mir das jetzt? Wie muss ich weitermachen?
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> Danke für deine Antwort =) ... Die 1. Aufgabe habe ich
> jetzt, aber bei der 2. haperts :
>
> exp(1)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}[/mm]
>
> exp(-1) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n})}{n!}[/mm]
Hallo,
oh...
Ich verrate Dir mal ein großes Geheimnis, okay?
Es ist [mm] \bruch{1}{e}=e^{-1}.
[/mm]
Irgendwie scheinst Du das nicht zu wissen...
LG Angela
>
> 1/2 ( e + [mm]\bruch{1}{e})[/mm] = [mm]\bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}})[/mm]
>
>
> 1/2 ( e + [mm]\bruch{1}{e})[/mm] I = [mm]diag(\bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}})[/mm]
> , ... , [mm]\bruch{ (summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!})^{2} + 1 }{2 summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!}})[/mm]
> )
>
> 1/2 ( e - [mm]\bruch{1}{e})[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} * \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n})}{n!} -1}{2 \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1^{n})}{n!}}[/mm]
>
> Was bringt mir das jetzt? Wie muss ich weitermachen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Richler |
Ja, natürlich weiß ich das ^^ , habe nur nicht daran gedacht:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] (e + [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] + ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] )
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] (e - [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] - ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] )
zz: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A^{n}}{n!} [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] + ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] ) I + ( [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] - ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] )) A
( [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] + ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] ) I + ( [mm] \bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] - ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1} [/mm] )) A = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \bruch{A}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{I}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \bruch{I}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A + I}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \bruch{- A + I}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}
[/mm]
Also ich rechne schon seit Ewigkeiten daran rum, eigentlich sind die Umformungen doch alle richtig. Trotzdem kann es nicht stimmen, da nirgends [mm] A^{2} [/mm] = I zum Tragen kommt =(
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> Ja, natürlich weiß ich das ^^ ,
Beruhigend.
> habe nur nicht daran
> gedacht:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (e + [mm]\bruch{1}{e})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> + ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] )
Kind!!! Du bist ein bißchen schwerfällig. Liegt sicher an der Hitze.
Du hattest doch vorher schon [mm] e^{-1}=exp(-1)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n!}
[/mm]
Könntest Du jetzt vielleicht mal ausrechnen, was bei
[mm]\bruch{1}{2}[/mm] (e - [mm]\bruch{1}{e})[/mm] [mm] =\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}+\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n!}) =\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{n!}+\bruch{(-1)^n}{n!}) [/mm]
rauskommt?
Danach dann [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (e - [mm]\bruch{1}{e})[/mm]
LG Angela
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (e - [mm]\bruch{1}{e})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> - ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] )
>
> zz: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A^{n}}{n!}[/mm] = (
> [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm] + (
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] ) I + (
> [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm] - (
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] )) A
>
> ( [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm] + (
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] ) I + (
> [mm]\bruch{1}{2} (\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm] - (
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} )^{-1}[/mm] )) A =
> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A}{n!}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{A}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{I}{n!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{I}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{A + I}{n!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{- A + I}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}[/mm]
>
>
>
>
> Also ich rechne schon seit Ewigkeiten daran rum, eigentlich
> sind die Umformungen doch alle richtig. Trotzdem kann es
> nicht stimmen, da nirgends [mm]A^{2}[/mm] = I zum Tragen kommt =(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Richler |
Ja, das kann gut sein. Es ist wirklich sehr warm, aber danke dass du so viel Geduld mit mir hast =) .
Ich betrachte zuerst :1/2 (e + 1/e)
n gerade:1/2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n! + 1/n! = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n!
n ungerade: 1/2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] -1/n! + -1/n! = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] -1/n!
Betrachten wir nun : 1/2 (e - 1/e)
n gerade: 1/2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n! - 1/n! = 0
n ungerade: 1/2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n! + 1/n! = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n!
Also 1/2 ( e-1/e)A = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/n! und 1/2 ( e + 1/e)I ist für gerade n = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] I/n! und für ungerde n = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] -I / n!
Das heißt exp(A) wäre : [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (A+I)/n!
oder [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (A-I)/n!
das komm jetzt dem ergebnis zwar schon ziemlich nahe, aber auch eben nur nahe ...
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> Ja, das kann gut sein. Es ist wirklich sehr warm, aber
> danke dass du so viel Geduld mit mir hast =) .
>
> Ich betrachte zuerst :1/2 (e + 1/e)
>
> n gerade:1/2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 1/n! + 1/n! =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 1/n!
>
> n ungerade: 1/2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] -1/n! + -1/n! =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] -1/n!
Hallo,
erstens mal ist der Aufschrieb Kokolores, ich ahne aber, was Du meinst.
Aber das, was Du meinst, stimmt ja nicht.
Wo kommt denn das erste Minuszeichen bei n ungerade her? Ich sag' Dir's: nirgendwo...
Wenn Du Dir mal die Mühe machst, die Summe auszuschreiben, wirst Du sehen,
daß
[mm]\bruch{1}{2}[/mm] (e + [mm]\bruch{1}{e})[/mm] = [mm] \bruch{1}{1!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{5!}+....
[/mm]
Schreibe entsprechend
> 1/2 (e - 1/e)
auf.
Wenn Du das hast, dann guck am besten nochmal nach, was Du im Eingangspost bereits herausgefunden hattest.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:21 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
Also ich habe wirklich keine Ahnung, was ich hier mache... Ich komme wirklich nicht drauf, wann ich jemals A mit A multipliziere...
1/2 ( e + 1/e) = [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8!} [/mm] + ...
1/2 ( e - 1/e) = [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9!} [/mm] + ...
exp(A) = I/0! + A/1! + [mm] A^{2} [/mm] / 2! + [mm] A^{3}/ [/mm] 3! + [mm] A^{4} [/mm] / 4! + ... = I/0! + A/1! + I / 2! + A / 3! + I / 4! + ... da [mm] A^{2}= [/mm] I
somit haben wir es dann doch :D
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