Matrix Bilinearform bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 So 25.04.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | | Sei V=R hoch 2x2 der Vektorraum der reelen 2x2 Matrizen. Man bestimme die Matrix der Bilinearform <A,B>=Spur(AB) auf V bezüglich der Standardbasis {ei,ej} |
Ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe:
Ich habe bereits einen Ansatz, jedoch komme ich dann irgendwie nicht weiter: Ich nehme ja die Standardbasis, also habe ich eine Basis aus den folgenden Vektoren: (1 0 0 0), (0 1 0 0), (0 0 1 0), (0 0 0 1).
Jedoch komme ich dann nicht weiter, denn irgendwie muss ich ja die Matrix bestimmen...
Vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 25.04.2010 | | Autor: | koepper |
Hallo natascha,
bestimme allgemein Spur(AB) mit Variablen als Einträge in den Matrizen.
Dann bestimme eine Matrix M so, dass
[mm] $A^T \cdot [/mm] M [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \text{Spur}(AB)$ [/mm] ist.
LG
Wil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 25.04.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe das nun so gemacht und erhalte:
A=(a1 a2
a3 a4)
A hoch t = (a1 a3
a2 a4)
B=(b1 b2
b3 b4)
Die Spur(AB) = a1*b1+a2*b3+a3*b2+a4*b4 und somit
Spur(AB)=A*M*B
Jedoch habe ich nun ein Problem, denn ich muss die Matrix ja so finden dass sie multipliziert mit A und B dann die Spur gibt. Mein Problem dabei ist jedoch, dass die Spur eine Zahl ist und die die Matrizen multipliziert ja eine Matrix ergeben...ich finde es komisch, das gleichzusetzen und weiss nicht, wie ich M finden kann. Habe ich etwas falsch gemacht? Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 25.04.2010 | | Autor: | koepper |
Hallo Natascha,
dein Einwand ist berechtigt. Verwende statt [mm] $A^T$ [/mm] und $B$ einfach die Darstellung von [mm] $A^T$ [/mm] bzw. $B$ bezüglich der Standardbasis. Damit repräsentierst du die 2 x 2 Matrizen also de facto durch Spaltenvektoren aus dem [mm] $\IR^4$. [/mm] Die gesuchte Matrix der Bilinearform ist dann natürlich auch eine 4 x 4 Matrix.
LG
Will
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