Matrix A mit det(A) = 2 finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Do 17.01.2013 | | Autor: | mikescho |
| Aufgabe | | Sei [mm] A = (a_{ij}) [/mm] eine [mm] n \times n [/mm] Matrix mit [mm] a_{ij} \in \mathbb{Z} [/mm] und [mm] det(A) = 2 [/mm]. Kann es passieren, dass die Einträge der Matrix [mm] A^{-1} [/mm] alle ganze Zahlen sind? Geben Sie entweder ein Beispiel an, oder begründen Sie warum das nicht möglich ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Matheraum Community,
Ich habe mich schon eine längere Zeit mit dieser Aufgabe beschäftigt und bin leider nicht sehr weit gekommen.
Am Anfang hatte ich mir überlegt, dass man diese Aufgabe mit der Cramer Matrix lösen kann. In diesem Zusammenhang haben wir in der Vorlesung die Formel [mm] det(A)^{-1} * A^{\#} = A^{-1} * E_{n} [/mm] kennen gelernt. Ich habe mir dann überlegt, dass die Cramer Matrix nur aus vielfachen von 2 bestehen darf, da man die Matrix noch mit [mm] \frac{1}{2} [/mm] multiplizieren muss.
Leider kann ich kein konrektes Beispiel finden.
Ich bin mir jetzt auch nicht mehr sicher ob dieses Problem überhaupt eine Lösung hat.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich würde mich über jeden kleinen Hinweis freuen.
Danke für eure Bemühungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A = (a_{ij})[/mm] eine [mm]n \times n[/mm] Matrix mit [mm]a_{ij} \in \mathbb{Z}[/mm]
> und [mm]det(A) = 2 [/mm]. Kann es passieren, dass die Einträge der
> Matrix [mm]A^{-1}[/mm] alle ganze Zahlen sind? Geben Sie entweder
> ein Beispiel an, oder begründen Sie warum das nicht
> möglich ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Matheraum Community,
>
> Ich habe mich schon eine längere Zeit mit dieser Aufgabe
> beschäftigt und bin leider nicht sehr weit gekommen.
>
> Am Anfang hatte ich mir überlegt, dass man diese Aufgabe
> mit der Cramer Matrix lösen kann. In diesem Zusammenhang
> haben wir in der Vorlesung die Formel [mm]det(A)^{-1} * A^{\#} = A^{-1} * E_{n}[/mm]
> kennen gelernt. Ich habe mir dann überlegt, dass die
> Cramer Matrix nur aus vielfachen von 2 bestehen darf, da
> man die Matrix noch mit [mm]\frac{1}{2}[/mm] multiplizieren muss.
>
> Leider kann ich kein konrektes Beispiel finden.
>
> Ich bin mir jetzt auch nicht mehr sicher ob dieses Problem
> überhaupt eine Lösung hat.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich würde mich
> über jeden kleinen Hinweis freuen.
>
> Danke für eure Bemühungen.
Ohne Worte:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 17.01.2013 | | Autor: | mikescho |
Aber wenn man die Matrix invertiert, dann erhalte ich doch diese Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} } [/mm] und diese Matrix besteht nicht aus ganzen Zahlen. Oder habe ich deine Antwort missverstanden?
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moin,
Die Cramersche Matrix (ich nehme mal an du meinst die ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte ) ist schon eine ganz nette Idee.
Leider liefert sie dir nicht die gewünschte Aussage.
Weißt du bereits, dass die Determinante multiplikativ ist, dass also $det(AB) = det(A)*det(B)$?
Nimm nun an, dass $A$ eine Matrix mit Determinante 2 ist. Was folgt dann für [mm] $det(A^{-1})$?
[/mm]
Ist das möglich, wenn [mm] $A^{-1}$ [/mm] eine ganzzahlige Matrix wäre (falls ja: Beispiel, falls nein: Begründung/Beweis)?
lg
Schadow
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