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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
weiß leider nicht wie ich das angehen sollte, wenn ich mir die diagonalgestalt ausrechne wie komme ich dann auf A^149 ??
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Wenn du die Diagonalgestalt hast, kannst du recht einfach diese Potenz ausrechnen.
Was ist denn [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b }\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] ?
Was du jetzt machen mußt:
Wenn du deine Matrix mit einem Vektor multiplizieren willst, schreibst du eigentlich
[mm] \vec{y}=A^{159}*\vec{x}
[/mm]
Jetzt bist du aber in den Eigenvektorraum übergegangen, also ein Koordinatensystem, dessen Basisvektoren die Eigenvektoren der Matrix A sind.
Du mußt also den Vektor [mm] \vec{x} [/mm] zunächst in diesen Eigenvektorraum "koordinatentransformieren", bevor du ihn mit der Diagonalmatrix multiplizieren darfst. Das ergebnis ist aber immernoch in "Einheiten" der Eigenvektorbasis, und du mußt es zurück in die gewöhnliche Basis transformieren. Das sieht letztendlich so aus:
[mm] \vec{y}=M*D^{159}*M^{-1}*\vec{x}
[/mm]
Hierbei ist M die Matrix, die von der Eigenvektorbasis in die kanonische (normale) Basis transformiert.
D ist deine Diagonale Matrix, und [mm] M^{-1} [/mm] die Umkehrmatrix von M.
Deine Aufgabe ist, diese drei Matrizen zu berechnen, und zusammenzumultiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 11.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich mir M berechne:
[mm] det(A-\lambda*E)=0
[/mm]
[mm] det\pmat{0,99-\lambda & 0,02 \\ -0,04 & 1,05-\lambda}
[/mm]
dann erhalte ich: [mm] \lambda^2-2,04\lambda+1,0403 [/mm] daraus:
[mm] \lambda_1=1,01
[/mm]
[mm] \lambda_2=1,03
[/mm]
[mm] \lambda_1=1,01: (A-\lambda_1*E)*\vec{x_1}=\vec{0}
[/mm]
--> [mm] \vec{x_1}=\vektor{0,02 \\ 0,02} [/mm] normiert: [mm] \vec{x_1}=(1/\wurzel{0,0008})*\vektor{0,02 \\ 0,02}
[/mm]
das selbe für [mm] \lambda_2=1,03: (A-\lambda_2*E)*\vec{x_2}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \vec{x_2}=\vektor{0,04 \\ 0,02} [/mm] normiert: [mm] \vec{x_2}=(1/\wurzel{0,002})*\vektor{0,04 \\ 0,02}
[/mm]
dann wäre ja [mm] M=(1/\wurzel{0,002})*(1/\wurzel{0,0008})*\pmat{ 0,02 & 0,04 \\ 0,02 & 0,02 } [/mm] ??
[mm] M^T=(1/\wurzel{0,002})*(1/\wurzel{0,0008})*\pmat{ 0,02 & 0,02 \\ 0,04 & 0,02 } [/mm] oder?
nur wie komme ich auf das A^149? oder muss ich nur [mm] M*A*M^T [/mm] ausrechnen?
danke!
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Hallo!
Ohne das nachgerechnet zu haben, das sieht eigentlich gut aus!
Nun, du brauchst doch [mm] $MD^{159}M^{-1}$ [/mm] Die matrix D ist die diagonalisierte Version von A, also [mm] D=\pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 &\lambda_2 }
[/mm]
Die mußt du noch potenzieren, das ist aber nicht schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 11.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also:
[mm] M=(1/\wurzel{0,002})\cdot{}(1/\wurzel{0,0008})\cdot{}\pmat{ 0,02 & 0,04 \\ 0,02 & 0,02 }
[/mm]
[mm] M^T=(1/\wurzel{0,002})\cdot{}(1/\wurzel{0,0008})\cdot{}\pmat{ 0,02 & 0,02 \\ 0,04 & 0,02 }
[/mm]
[mm] D=\pmat{ 1,01 & 0 \\ 0 & 1,03 } [/mm] oder?
--> [mm] D^149=\pmat{ 4,404 & 0 \\ 0 & 81,799}
[/mm]
wenn ich dann ausrechne [mm] M*D^149*M^T [/mm]
komme ich aber auf [mm] \pmat{ 82899 & 42000 \\ 42000 & 21500}
[/mm]
nur irgendwie sollte da ja was anderes rauskommen ??
habs mit pc gerechnet der bekommt das raus für [mm] A^149=\pmat{ -72,99 & 77,394 \\ -154,789 & 159,193 }
[/mm]
danke!
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Hallo!
Ich hab den Fehler übersehen: Du brauchst nicht [mm] M^T [/mm] , sondern [mm] M^{-1} [/mm] . Das ist i.A. nicht das gleiche.
Ansonsten stimmen deine Rechnungen übrigens, mein Rechner sagt zu diesem dreifachen Matrixprodukt
[mm]\left(
\begin{array}{cc}
0.02 & 0.02 \\
0.02 & 0.04%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{cc}
4.\,\allowbreak 404\,4 & 0 \\
0 & 81.\,\allowbreak 799%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{cc}
100.0 & -50.0 \\
-50.0 & 50.0%
\end{array}%
\right) =\allowbreak \left(
\begin{array}{cc}
-72.\,\allowbreak 99 & 77.\,\allowbreak 395 \\
-154.\,\allowbreak 79 & 159.\,\allowbreak 19%
\end{array}%
\right) \allowbreak [/mm]
Übrigens kannst du dir das Normieren sparen. In der Umkehrmatrix steht sozusagen der Kehrwert des Normierungsfaktors drin, und somit hebt sich das so oder so gegenseitig weg.
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Hallo!
Noch eine Sache, die ich besser als neuen Beitrag unten drunter setze:
Du kannst nicht einfach den Normierungsfaktor vor die Matrix ziehen, sondern den müßtest du vorher mit den jeweiligen Vektoren verwursten.
Es ist richtig, daß man bei einer Determinante einen Faktor aus einer Zeile oder Spalte ziehen kann, aber das gilt eben nur da, und nicht bei einer vollwertigen Matrix.
Du siehst, noch ein Grund, die Normierung fallen zu lassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Di 11.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
Danke!
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