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Hey ihr Lebensretter;)
V,V' sind vektorräume. r:ist die koordinatenabbildung bzgl der basis [mm] v_1.....,v_n [/mm] von V,
s ist die Koordinatenabbildung bzgl. [mm] v_1',.....,v_n' [/mm] und es soll so sein,
dass für jede lineare abb f:V ->V' gilt: [mm] r\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] s ist genau die Abbildung [mm] f_A.
[/mm]
[mm] f_A: V_n(K)->V_m(K), [/mm] v-> Av
Aber wieso ist das so? Ganz sehe ich da keinen ZUsammenhang...
Kann mir jemand helfen?
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Hallo,
also ich nehme mal an (ich habe grad kein AGLA-Buch zur Hand), dass die Koordinantenabbildungen von [mm] $V_n(K) \rightarrow [/mm] V$ bzw. [mm] $V_m(K) \rightarrow [/mm] V'$ abbilden, wobei [mm] $V_n(K)$ [/mm] bzw. [mm] $V_m(K)$ [/mm] die Koordinatenräume sind.
Wie du vielleicht weißt, multipliziert man an die Darstellungsmatrix A einer linearen Abbildung f nicht die Elemente des Vektorraums $V$ selber, sondern die Koordinatenvektoren aus [mm] $V_n(K)$. [/mm] Das ergibt sich aus der Tatsache, wie du die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f ausrechnest. Nämlich indem du die Spalten von A als [mm] $f_A(e_i)$ [/mm] (Bilder der Koordinateneinheitsvektoren) setzt. Wenn du weitere Fragen hast, nur zu.
Mfg, Nick
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So ganz theoretisch ist das klar, hatte nur versucht mir das irgendwie deutlicher zu machen und zwar habe ich nun mal folgendes gemacht:
f:V->V' [mm] f(\vektor{x_1 \\ y_2}) [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_2 \\ y_2} [/mm]
< [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] >=Basis von V,
[mm]
De Darstellende Matrix wäre ja folgende [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }
[/mm]
So und nun versuchen wir es über den in Frage 1 genannten "Weg":
Es sei v= [mm] c_1 v_2 [/mm] + [mm] c_2 v_2
[/mm]
Dann wäre nun [mm] \alpha' \circ [/mm] f [mm] \circ \alpha(v)= \alpha' (f(\vektor{c_1 \\ c_2})) [/mm] = [mm] \alpha' (\vektor{c_1+ c_2 \\ c_2}) [/mm] = [mm] \vektor{c_1+ c_2 \\ c_2}
[/mm]
Genau das kommt auch heraus, wenn die sich vorher überlegte Darstellungsmatrix mit diesem [mm] \vektor{c_1 \\ c_2} [/mm] multipliziert.
Es gilt also [mm] A*(\alpha'(v)) [/mm] = [mm] \alpha' \circ [/mm] f [mm] \circ \alpha(v)
[/mm]
Aber wenn ich normal mit einer darstellenden Matrix arbeite, muss ich ja auch nicht vorher den Koordinatenvektor ausrechen oder??
Lg Sandra und einen schönen Abend
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Hallo Sandra!
Dein Beispiel war etwas zu einfach  Bei der Matrixdarstellung einer linearen Abbilung macht man sich ja gerade zunutze, dass jeder endlich dimensionale K-Vektorraum mit [mm] $\dim [/mm] V = n$ isomorph zum [mm] $K^n$ [/mm] ist. Deswegen solltest du dir ein Beispiel aussuchen, indem dein $V$ nicht gerade dieser Vektorraum ist.
Ein kleines Beispiel. Sei $V$ der Raum der Polynome mit $grad [mm] \, [/mm] p < 2 [mm] \quad [/mm] p [mm] \in [/mm] V$. Dann ist $(1, x)$ eine Basis von $V$. Als Beispielfunktion wählen wir $f: V -> V$ mit $p [mm] \mapsto [/mm] 2x*p'$. Dann gilt $f(1) = 0 = 0 * 1 + 0 * x$ sowie $f(x) = 2x = 0 * 1 + 2 * x$.
Wir erhalten also als darstellende Matrix der linearen Abbildung
$$A = [mm] \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$$
[/mm]
Es gilt also z.B. $f(4x + 3) = 8x$, aber [mm] $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 8}$. [/mm] Du erhälst also nur wieder den Koordinatenvektor!
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen!
Gruß!
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Ja ok, es war vielleicht zu einfach, weil mein Vektorraum gerade der [mm] K^n [/mm] war..Aber auch in einem einfachen Beispiel muss das ja alles gelten und ich verstehe eben nicht ganz, warum man quasi nur mit den Koovektoren hantiert.
Es ist mir rein theorethisch klar, aber ich glaube das Problem ist, dass man häufig mal Bilder von Vektoren mit Darstellungsmatrzen ausrechnen soll und das dann einfach macht.
Das was man aber scheinbar dann wirklich da macht, ist mit einem Koordinatenvektor eines anderen Vektors zu multiplizieren und einen Koordinatenvektor herauszubekommen. Richtig?
Das bedeutet, dass Bild eines Vektors ist auch nur ein Koordinatenvektor eines Vektors bzgl einer bestimmen Basis. Da diese Basis in den "einfachen " Fällen de Standardbasis ist, entspricht der Koordinatenvektor dem Vektor v.
Ich hoffe so, dass ich das jetzt verstanden habe*hopefully*
Lg Sandra
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Hallo!
Das hast du alles genau richtig verstanden ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bezgl. der Standardbasis im [mm] $K^n$ [/mm] gilt dementsprechend z.B. [mm] $\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = a * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + c * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$. [/mm] Auch hier rechnest du mit den Koordinatenvektoren, diese stimmen mit dem Vektor aber überein 
Glückwunsch!
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