Matrix-/Operatornorm < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mo 09.06.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in Mat(n,n;\C)
[/mm]
A ist genau dann positiv, wenn gilt [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] Ax\ge [/mm] 0
+ Fragen zu Matrix-/Operatornorm |
Hallo
ich habe einige Fragen, die nicht in zusammenhang einer Aufgabe ist, sondern nur um das Verständnis geht und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
habe einige Problem die zu zeigen, da für mich das nicht offentsichlich das es gilt. Ich habe dazu ein Bespiel überlegt:
ich habe erstmal [mm] "\Leftarrow" [/mm] betrachtet. Sei [mm] x\ge [/mm] 0, dann betr. dazu dieses Beispiel [mm] x=\vektor{1 \\ 1\\0} [/mm] und das ist [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] A=\pmat{ 3 & -2 & 1\\ 3 & -1&0 \\1 & 0 & 0 } [/mm] und es gilt [mm] Ax=\vektor{1\\ 2\\1}, [/mm] aber A ist nicht positiv.
2. Frage: Was ist der Unterschied zwischen Matrixnorm und Operatornorm?
So wie ich es verstanden habe ist Matrixnorm auch ein Operatornorm, oder besser gesagt es repräsentiert einen Opartornorm, richtig?
für Operatornorm muss die Multiplikativität gelten. Jetzt zu meine
3. Frage: es gilt das Maximumsnorm nicht multiplikativ ist, denn es gilt [mm] ||A||:=|a_{ij}| [/mm] und sei A=B= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
dann erhält man [mm] ||AB||_\infty=2>1=||A||_\infty \cdot ||B||_\infty
[/mm]
3. Frage: aber warum betr. ich nicht die Zeilensummennorm, die von der Maximumsnorm induziert ist, sondern die Maximumsnorm. Wir betr doch eine Matrix oder da Matrix auch Vektor kann man die Maximsnorm auf Matrizen anwenden? Wenn ich die Zeilsensummennorn betr.,d ann wäre die Multiplikativität erfüllt. Jetzt komme ich nun zu meine 4. Frage, die auf meine 3. Frage bezieht.
4. Frage: Heißt es dann die Zeilensummennorm ist kein Oparatornorm, da Maximumsnom nicht multiplikativ ist? Aber in vielen Literaturen ist Zeilensummennorm Operatornorm.
5. Frage: Es gilt für Spalten-/Zeilensummennorm
||A||=|| |A| || ansonsten würde die Ungleichung gelten ||A|| [mm] \le [/mm] || |A| ||
Könnt ihr mir evtl. anhang eines Beipiel erklären warum die Ungleichung gilt bzw. die Gleichheit bei Spalten-und Zeilensummennorm?
6. Frage:Folgt aus Multiplikativität automatisch die Verträglichkeit eines Operatornorms?
Ich hoffe ihr könnt mir zum Verständnis diesen doch vielen Fragen helfen. Ich bin für jede hilfe dankbar
Gruß,
knowhow
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Hallo,
> Sei A [mm]\in Mat(n,n;\C)[/mm]
> A ist genau dann positiv, wenn gilt
> [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]Ax\ge[/mm] 0
>
> + Fragen zu Matrix-/Operatornorm
> Hallo
> ich habe einige Fragen, die nicht in zusammenhang einer
> Aufgabe ist, sondern nur um das Verständnis geht und ich
> hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
> habe einige Problem die zu zeigen, da für mich das nicht
> offentsichlich das es gilt. Ich habe dazu ein Bespiel
> überlegt:
>
> ich habe erstmal [mm]"\Leftarrow"[/mm] betrachtet. Sei [mm]x\ge[/mm] 0, dann
> betr. dazu dieses Beispiel [mm]x=\vektor{1 \\ 1\\0}[/mm] und das
> ist [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]A=\pmat{ 3 & -2 & 1\\ 3 & -1&0 \\1 & 0 & 0 }[/mm]
> und es gilt [mm]Ax=\vektor{1\\ 2\\1},[/mm] aber A ist nicht
> positiv.
Du hast etwas elementares vergessen: Die Relation muss für alle [mm] x\in\IR^2 [/mm] gelten.
Zudem ist das auch nicht korrekt.
A positiv definit [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] gilt $x^TAx>0$
A positiv semidefinit [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] gilt [mm] x^TAx\ge0
[/mm]
>
> 2. Frage: Was ist der Unterschied zwischen Matrixnorm und
> Operatornorm?
> So wie ich es verstanden habe ist Matrixnorm auch ein
> Operatornorm, oder besser gesagt es repräsentiert einen
> Opartornorm, richtig?
Joar, eine Matrix stellt einen linearen Operator zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen dar. Aber auch bei der Matrixnorm gibt es ja Unterschiede. Eine Operatornorm ist deutlich allgemeiner und findet Anwendung bei linearen Operatoren zwischen (nur) normierten Räumen (Endlichkeit ist nicht gefordert).
>
> für Operatornorm muss die Multiplikativität gelten. Jetzt
> zu meine
> 3. Frage: es gilt das Maximumsnorm nicht multiplikativ ist,
> denn es gilt [mm]||A||:=|a_{ij}|[/mm] und sei A=B= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> dann erhält man [mm]||AB||_\infty=2>1=||A||_\infty \cdot ||B||_\infty[/mm]
Es ist [mm] AB=\pmat{2 & 2 \\ 2 & 2}
[/mm]
D.h. also es ist [mm] \Vert{AB}\Vert_\infty=2+2=4
[/mm]
Weiter ist aber [mm] \Vert{A}\Vert_\infty=\Vert{B}\Vert_\infty=1+1=2
[/mm]
Und somit folgt: [mm] \Vert{AB}\Vert_\infty=\Vert{A}\Vert_\infty\Vert{B}\Vert_\infty
[/mm]
Aber lass dich nicht täuschen. Die Zeilensummennorm ist submultiplikativ!
>
> 3. Frage: aber warum betr. ich nicht die Zeilensummennorm,
> die von der Maximumsnorm induziert ist, sondern die
> Maximumsnorm. Wir betr doch eine Matrix oder da Matrix auch
> Vektor kann man die Maximsnorm auf Matrizen anwenden? Wenn
> ich die Zeilsensummennorn betr.,d ann wäre die
> Multiplikativität erfüllt. Jetzt komme ich nun zu meine
> 4. Frage, die auf meine 3. Frage bezieht.
>
> 4. Frage: Heißt es dann die Zeilensummennorm ist kein
> Oparatornorm, da Maximumsnom nicht multiplikativ ist? Aber
> in vielen Literaturen ist Zeilensummennorm Operatornorm.
Oben schon beantwortet.
>
> 5. Frage: Es gilt für Spalten-/Zeilensummennorm
>
> ||A||=|| |A| || ansonsten würde die Ungleichung gelten
> ||A|| [mm]\le[/mm] || |A| ||
>
> Könnt ihr mir evtl. anhang eines Beipiel erklären warum
> die Ungleichung gilt bzw. die Gleichheit bei Spalten-und
> Zeilensummennorm?
>
> 6. Frage:Folgt aus Multiplikativität automatisch die
> Verträglichkeit eines Operatornorms?
>
> Ich hoffe ihr könnt mir zum Verständnis diesen doch
> vielen Fragen helfen. Ich bin für jede hilfe dankbar
>
> Gruß,
> knowhow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mi 11.06.2014 | | Autor: | knowhow |
nochmal dankeschön für deine Antwort, aber leider sind noch Fragen aufgetaucht:
zu Frage 1 also ist so da wir immer zu Matrizen, wo ihre einträge größer 0 ist positiv definiert haben, daher hat es mich etw. irritiert als du von positiv definit (strickt positiv) bzw. postiv semidefinitheit. In manchen literaturen habe ich diese Begriff auch schon gelesen. Aber was ist der unteschied zw. wenn ich sage eine Matrix ist positiv semidefinit oder eine matrix ist positiv? Zudem betrachtet man bei positiv semidefinit noch die transponierte von x, aber warum macht man das? reicht es nicht wenn ich nur Ax [mm] \ge [/mm] 0 betrachtet wie in unseren Skript?
zu Frage 2 heißt das wenn ich eine lin. Operator zw. endl dim. VR betrachtet, auf denen eine Norm definiert ist, dann ist es zugleich eine Matrixnorm? Was meist du mit unerschiede zw. Matrixnormen? Meist du damit z.B Zeilensummennorm,Spaltensummennorm,...
Aber wenn Operatornorm was allg. ist dann würde Matrixnorm dazugehören, da sie was spezielles darstelllt. Ich meine damit wenn ich z.b den Begriff "Auto" nehme was die Operatornorm darstellen soll, dann zählen dazu z.b LKW, Carbrio,.., diese etwas spezifiziern diesen Begriff ( hoffentlich kam es verständlich herrüber). Aber nicht jede Matrixnorm ist eine Operatornorm, da folgende Bedingungen nicht erfüllt werden.
neue Frage Unterscheidet sich die Operatornorm bzw Matrixnorm zw. positive Matrizen und nichtpositive Matrizen?
dankeschön im voraus für jede Antwort
gruß,
knowhow
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Hi,
> nochmal dankeschön für deine Antwort, aber leider sind
> noch Fragen aufgetaucht:
>
> zu Frage 1 also ist so da wir immer zu Matrizen, wo ihre
> einträge größer 0 ist positiv definiert haben, daher hat
> es mich etw. irritiert als du von positiv definit (strickt
> positiv) bzw. postiv semidefinitheit. In manchen
> literaturen habe ich diese Begriff auch schon gelesen.
> Aber was ist der unteschied zw. wenn ich sage eine Matrix
> ist positiv semidefinit oder eine matrix ist positiv? Zudem
> betrachtet man bei positiv semidefinit noch die
> transponierte von x, aber warum macht man das? reicht es
> nicht wenn ich nur Ax [mm]\ge[/mm] 0 betrachtet wie in unseren
> Skript?
Man muss folgendes unterscheiden:
i) Eine Matrix ist positiv.
ii) Eine Matrix ist positiv definit.
Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe!
Eine Matrix ist positiv, wenn jeder der Einträge positiv ist. Das ist also ganz einfach zu prüfen. Man braucht keine weiteren Kriterien.
Was du aber wolltest ist die Definitheit.
ich wiederhole noch einmal:
Eine Matrix [mm] A\in\IR^{n,n} [/mm] ist positiv definit, wenn für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] gilt
$x^TAx>0$
Du hast gefragt, warum man [mm] x^T [/mm] wählt. Die Frage ist einfach zu beantworten: Dadurch erhält man doch eine reelle Zahl, wodurch man also entscheiden kann, ob der Ausdruck wirklich größer Null ist. Es ist also [mm] x^TAx\in\IR.
[/mm]
>
> zu Frage 2 heißt das wenn ich eine lin. Operator zw. endl
> dim. VR betrachtet, auf denen eine Norm definiert ist, dann
> ist es zugleich eine Matrixnorm? Was meist du mit
> unerschiede zw. Matrixnormen? Meist du damit z.B
> Zeilensummennorm,Spaltensummennorm,...
Genau! Es gibt verschiedene Matrixnormen. Du hast ja schon einige genannt.
Ja, auch eine Matrixnorm ist eine Operatornorm. Das hast du schon richtig gesagt. Hier haben wir nur so ein bisschen das Problem der Darstellbarkeit. Soll heißen:
Angenommen du hast einen linearen Operator T zwischen endlich-dim. Banachräumen. Dann gibt es zu diesem Operator eine Operatornorm. Wenn der Operator selbst keine Matrix darstellt, dann kann man auch schlecht von einer Matrixnorm sprechen. Es ist aber möglich den Operator T also Matrix T' darzustellen. Dann wäre der Begriff der Matrixnorm als Operatornorm gerechtfertigt.
> Aber wenn Operatornorm was allg. ist dann würde
> Matrixnorm dazugehören, da sie was spezielles darstelllt.
> Ich meine damit wenn ich z.b den Begriff "Auto" nehme was
> die Operatornorm darstellen soll, dann zählen dazu z.b
> LKW, Carbrio,.., diese etwas spezifiziern diesen Begriff (
> hoffentlich kam es verständlich herrüber). Aber nicht
> jede Matrixnorm ist eine Operatornorm, da folgende
> Bedingungen nicht erfüllt werden.
>
> neue Frage Unterscheidet sich die Operatornorm bzw
> Matrixnorm zw. positive Matrizen und nichtpositive
> Matrizen?
Nö. Zumindest gibt es dafür ja keinen Grund.
>
> dankeschön im voraus für jede Antwort
>
> gruß,
> knowhow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 11.06.2014 | | Autor: | knowhow |
dankeschön für deine antwort.
aber was ich mich noch frage zu frage 1: ich habe für [mm] x^T [/mm] Ax [mm] \ge [/mm] 0 meistens im Zusammenhang mit symmetr. Matrizen gelesen, aber in der aufgaben ist nur von Matrizen die Rede, da wir nur auf Positiviät der Matrix überprüfen wollen. nehmen wir an dieMatrix A ist positiv,d.h wenn A positiv und x [mm] \ge [/mm] 0 dann ist Ax [mm] \ge [/mm] 0. aber wenn nur [mm] x\ge [/mm] 0 und Ax [mm] \ge [/mm] 0 gegeben ist wie folgt dann das A positv sein muss?
tschuldigung wenn ich dauern herumfrage und immer wieder fragen auftauchen, aber ich möchte es wirklich verstehen. dankeschön für deine geduld.
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Hi,
> dankeschön für deine antwort.
>
> aber was ich mich noch frage zu frage 1: ich habe für [mm]x^T[/mm]
> Ax [mm]\ge[/mm] 0 meistens im Zusammenhang mit symmetr. Matrizen
> gelesen, aber in der aufgaben ist nur von Matrizen die
> Rede, da wir nur auf Positiviät der Matrix überprüfen
> wollen. nehmen wir an dieMatrix A ist positiv,d.h wenn A
> positiv und x [mm]\ge[/mm] 0 dann ist Ax [mm]\ge[/mm] 0. aber wenn nur [mm]x\ge[/mm] 0
> und Ax [mm]\ge[/mm] 0 gegeben ist wie folgt dann das A positv sein
> muss?
Also für mich macht das keinen Sinn zu fragen ob Ax>0. Ähnlich sieht das mit x>0 aus. Man müsste sich also fragen: Wann ist ein Vektor positiv. Habt ihr das mal erklärt?
Ihr habt eine Definition aufgeschrieben und keinen Satz.
Ihr habt soetwas definiert:
"Eine Matrix A heißt positiv, wenn [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] Ax\ge0."
[/mm]
Darin stecken aber eben so manche seltsame Dinge:
1) Wenn schon, so sollte es für alle x aus dem entspr. Körper gelten.
2) Warum das [mm] \ge [/mm] ? Wähle beliebige Matrix A und den Vektor x=0. Dann folgt, dass jede Matrix A positiv ist.
3) Wann ist denn ein Vektor positiv? Macht meiner Meinug nach wenig Sinn.
Also klär uns mal exakt (!) auf. Wie steht es nun ganz genau in deinem Hefter? Gib mal bitte exakt den Wortlaut wieder. Oben habe ich geschrieben, warum das so eigentlich nicht stimmen kann.
Insbesondere: Betrachtet ihr die Definitheit oder nur die Positivität von Matrizen?
>
> tschuldigung wenn ich dauern herumfrage und immer wieder
> fragen auftauchen, aber ich möchte es wirklich verstehen.
> dankeschön für deine geduld.
Das ist schon ok. Wir diskutieren das so lange aus, bis alles klar und sicher ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Do 12.06.2014 | | Autor: | knowhow |
hier ist unser Satz:
Sei A [mm] \in Mat(n,n;\C). [/mm] Dann sind äquivalent
i) A positiv, also A [mm] \ge [/mm] 0
ii) [mm] x\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow Ax\ge [/mm] 0
ich verstehe diese Richtung ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i) nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> hier ist unser Satz:
> Sei A [mm]\in Mat(n,n;\C).[/mm] Dann sind äquivalent
> i) A positiv, also A [mm]\ge[/mm] 0
> ii) [mm]x\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow Ax\ge[/mm] 0
>
> ich verstehe diese Richtung ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i) nicht.
Zu den Begriffen: eine reelle Matrix [mm] B=(b_{jk}) [/mm] heißt positiv , wenn alle [mm] b_{jk} \ge [/mm] 0 sind.
Speziell: ist z [mm] \in \IR^n, [/mm] so bedeutet z [mm] \ge [/mm] 0: alle Koordinaten von z sind [mm] \ge [/mm] 0
Zu ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i):
es ist also vorausgesetzt: aus x [mm] \in \IR^n [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 0 folgt stets Ax [mm] \ge [/mm] 0
Sei [mm] A=(a_{jk})
[/mm]
Sei [mm] e_j [/mm] der j-te Einheitsvektor des [mm] \IR^n. [/mm] Es ist [mm] e_j \ge [/mm] 0. Dann ist [mm] Ae_j \ge [/mm] 0.
Was folgt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Fr 13.06.2014 | | Autor: | knowhow |
folgt dann daraus A ist positiv? wir betr. ja [mm] e_j [/mm] und wenn wir diese mit A multipliziere,dann muss wieder was positives kommen da voraussetzung. [mm] Ae_j \ge [/mm] 0, d.h wir betr. nur die j-te Einträge in A. Und da es für alle x gelten muss, folgt daraus A ist positiv, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> folgt dann daraus A ist positiv? wir betr. ja [mm]e_j[/mm] und wenn
> wir diese mit A multipliziere,dann muss wieder was
> positives kommen da voraussetzung. [mm]Ae_j \ge[/mm] 0, d.h wir
> betr. nur die j-te Einträge in A. Und da es für alle x
> gelten muss, folgt daraus A ist positiv, oder?
Vielleicht meinst Du das Richtige ....
[mm] Ae_j [/mm] = j-te Spalte von A. Die Einträge in der j-ten Spalte von A sind also alle [mm] \ge [/mm] 0.
Da dies für j=1,...,n gilt, sind alle Einträge in A nichtnegativ.
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Fr 13.06.2014 | | Autor: | knowhow |
vielen dank für euche hilfe:)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:02 Fr 13.06.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo,
leider ist eine Frage zu Frage 2 nochmal aufgetaucht,
es wurde gesagt, das Operatornorm eine Norm, def auf VR (muss nicht endlich sein), aber bei der Matrixnorm wird auf den VRe auch eine Norm definiert, nur das die VR endlich sind.
Liegt der Unterschied zw. den beiden Normen nur darin dass der Operatornorm auch zw. unendl. VR Normen definiert sind und bei MAtrixnormen nur zw. endl. VR und Matrizen sogesagt auch lin. Operator sind.
ich verstehe einfach den Unterschied nicht ( außer das was ich oben genannt habe, falls es richtig ist was ich geschrieben habe)
Wann spricht man von Matrixnorm und wann von Operatornorm?
ich hoffe ihr hab verständlich dafür, dass ich immer frage. Dankeschön im voraus und für eure geduld
gruß,
knowhow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 15.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo knowhow,
> 5. Frage: Es gilt für Spalten-/Zeilensummennorm
>
> ||A||=|| |A| || ansonsten würde die Ungleichung gelten
> ||A|| [mm]\le[/mm] || |A| ||
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Welche Voraussetzungen sind denn genau gegeben?
Sei $(R,+,*)$ ein kommutativer Ring mit Eins. Weiterhin be-
trachten wir [mm] $A\in R^{m\times n}$, [/mm] wobei [mm] m,n\in\IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] \|A\|_1=\max_{j=1,\ldots,n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}| [/mm] (Spaltensummennorm)
und
[mm] \|A\|_{\infty}=\max_{i=1,\ldots,m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}| [/mm] (Zeilensummennorm).
> Könnt ihr mir evtl. anhang eines Beipiel erklären warum
> die Ungleichung gilt bzw. die Gleichheit bei Spalten-und
> Zeilensummennorm?
Ich kann aus obiger Frage nicht genau entnehmen wonach du
suchst, aber mit den Definitionen
[mm] \|A\|_1:=\max_{\|x\|_1=1}\|Ax\|_1
[/mm]
und
[mm] \|A\|_{\infty}:=\max_{\|x\|_{\infty}=1}\|Ax\|_{\infty}
[/mm]
solltest du sofort zur Aussage kommen. Eventuell wirst du
auch ein paar Sätze der Analysis bzw. Linearen Algebra be-
nutzen müssen, aber das sollte klar sein.
> 6. Frage:Folgt aus Multiplikativität automatisch die
> Verträglichkeit eines Operatornorms?
Diese Frage verstehe ich nicht ganz. Meinst du die Sub-
multiplikativität? Ist die gegebene Matrix quadratisch?
Erläutere hier bitte nochmal deine Frage.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 11.06.2014 | | Autor: | knowhow |
Hallo,
zu frage 5 : also wir haben einen Satz aus der Vorl, die lautet:
Sei [mm] X=\C^n [/mm] mit einer Norm, dann erfüllt die zugehörige Operatornorm folg. Eigenschaft:
i) für alle A [mm] \in Mat(n,n;\C) [/mm] und die Zeilen- bzw Spaltensummennorm gilt
||A|| = || | A | || Gleichheit, wenn es sich um eine andere Norm handelt dann gilt ungleichheit also || A || [mm] \le [/mm] || |A| ||.
Für Spaltensummen und Zeilensummennorm ist es klar, wie du es sagst kann aus der def herauslesen, aber betr. wir mal z.B Spektralnorm, die folg. def. ist:
|| A [mm] ||_2= \wurzel{\lambda_{max}(A^TA)}
[/mm]
ich habe dabei ein Bespiel mir überlegt:
Sei [mm] A=\pmat{ -2& 3 \\ 1 & 2 } [/mm] und [mm] A^T=\pmat{ -2 & 1 \\ 3 & 2 }, [/mm] dann erhalte [mm] A^TA=\pmat{ 5 & -4 \\ -4 & 13 }
[/mm]
man erhält den chark. Polynom [mm] \lamdba^2-18 \lambda [/mm] +49
NST: [mm] \lambda_1 \approx [/mm] 14,66
[mm] \lambda_2 \approx [/mm] 3,34
man erhält dann || A [mm] ||_2 [/mm] = 3,83
dann jetzt für [mm] |A|=\pmat{ -2& 3 \\ 1 & 2 } [/mm] und [mm] |A|^T=\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 }
[/mm]
man erhält dann durch ausrechnen am ende dann
|| |A| [mm] ||_2= [/mm] 3,3,
aber dann || A || > || |A| ||, was mit obige Ungleichung widerspricht.
daher verstehe ich es nicht. wo liegt mein denkfehler?
zu frage 6 ja, ich meine die submultiplikativität. ich hätte gedacht, es ist unabh. ob eine matrix quadratisch ist oder nicht. aber nehmen wir dann mal an die Matrix ist quadratisch. dann ist eine Matrixnorm Submultiplikativ wenn gilt ||AB|| [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \cdot [/mm] ||B|| und verträglichkeit gilt eine Matrixnorm wenn gilt ||Ax|| [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \cdot [/mm] ||x||. was ist der Unterschied zw. diesen beiden. ím grunde ist es doch das gleiche, nur das bei Submult. man Matrizen betrachtet und bei Verträglichkeit Matrix und Vektor, wobei Matrizen auch verktoren sind.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
dankeschön im voraus
gruß,
knowhow
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zu frage 5 : also wir haben einen Satz aus der Vorl, die
> lautet:
> Sei [mm]X=\C^n[/mm]
Du meinst [mm] X=\IC^n, [/mm] wobei ich hier [mm] X=\IK^n [/mm] besser finden würde.
> mit einer Norm, dann erfüllt die zugehörige
> Operatornorm folg. Eigenschaft:
> i) für alle A [mm]\in Mat(n,n;\C)[/mm] und die Zeilen- bzw
> Spaltensummennorm gilt
> ||A|| = || | A | || Gleichheit, wenn es sich um eine
> andere Norm handelt dann gilt ungleichheit also || A || [mm]\le[/mm]
> || |A| ||.
Jetzt verstehe ich endlich, dass da ein Betrag steht! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Für Spaltensummen und Zeilensummennorm ist es klar, wie du
> es sagst kann aus der def herauslesen, aber betr. wir mal
> z.B Spektralnorm, die folg. def. ist:
> || A [mm]||_2= \wurzel{\lambda_{max}(A^TA)}[/mm]
Achtung: Diese Aussage ist bezüglich [mm] $X\$ [/mm] falsch (Warum?).
> ich habe dabei ein Bespiel mir überlegt:
> Sei [mm]A=\pmat{ -2& 3 \\ 1 & 2 }[/mm] und [mm]A^T=\pmat{ -2 & 1 \\ 3 & 2 },[/mm]
> dann erhalte [mm]A^TA=\pmat{ 5 & -4 \\ -4 & 13 }[/mm]
> man erhält
> den chark. Polynom [mm]\lamdba^2-18 \lambda[/mm] +49
> NST: [mm]\lambda_1 \approx[/mm] 14,66
> [mm]\lambda_2 \approx[/mm] 3,34
Richtig.
> dann jetzt für [mm]|A|=\pmat{ -2& 3 \\ 1 & 2 }[/mm]
Tippfehler?
> und
> [mm]|A|^T=\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 }[/mm]
> man erhält dann durch
> ausrechnen am ende dann
> || |A| [mm]||_2=[/mm] 3,3,
Falsch. Es gilt:
[mm] |A|^T*|A|=\pmat{ 5 & 8 \\ 8 & 13 }
[/mm]
und damit ändern sich auch die Eigenwerte.
> aber dann || A || > || |A| ||, was mit obige Ungleichung
> widerspricht.
Das passt dann.
> daher verstehe ich es nicht. wo liegt mein denkfehler?
Siehe oben.
> zu frage 6 ja, ich meine die submultiplikativität. ich
> hätte gedacht, es ist unabh. ob eine matrix quadratisch
> ist oder nicht. aber nehmen wir dann mal an die Matrix ist
> quadratisch. dann ist eine Matrixnorm Submultiplikativ
> wenn gilt ||AB|| [mm]\le[/mm] ||A|| [mm]\cdot[/mm] ||B|| und
> verträglichkeit gilt eine Matrixnorm wenn gilt ||Ax|| [mm]\le[/mm]
> ||A|| [mm]\cdot[/mm] ||x||. was ist der Unterschied zw. diesen
> beiden. ím grunde ist es doch das gleiche, nur das bei
> Submult. man Matrizen betrachtet und bei Verträglichkeit
> Matrix und Vektor,
Okay, jetzt verstehe ich deine Frage.
> Folgt aus Multiplikativität automatisch die Verträglichkeit eines Operatornorms?
Wir beschränken uns mal auf eine von einer Vektornorm als
Operatornorm abgeleitete Matrixnorm (das heißt: induzierte
Matrixnorm), dann ist es genau andersrum. Zunächst halten
wir fest, das sowohl die Verträglichkeit als auch die Sub-
multiplikativität Eigenschaften der induzierten Matrixnorm
sind. Dann folgt sofort aus der Definition der induzierten
Matrixnorm die Verträglichkeit und mit der Verträglichkeit
folgt die Submultiplikativität:
Seien dazu [mm] A\in\IK^{m\times n} [/mm] und [mm] B\in\IK^{n\times o}, [/mm] dann gilt:
[mm] \|A*B\|=\max_{\|x\|=1}\|A*B*x\|\overset{\text{Verträglichkeit}}{\le}\max_{\|x\|=1}\|A\|*\|B*x\|=\|A\|*\max_{\|x\|=1}\|B*x\|=\|A\|*\|B\|.
[/mm]
> wobei Matrizen auch verktoren sind.
Diese Aussage solltest du überdenken!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 11.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
zu Frage 5 : Warum ist die Aussage bezgl. X falsch. Vllt. ist es der springende Pkt warum ich es nicht verstehe. könntests du es evtl. so leicht wie möglich erklären.
Und nochmals dankeschön für deine hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zu Frage 5 : Warum ist die Aussage bezgl. X falsch. Vllt.
> ist es der springende Pkt warum ich es nicht verstehe.
> könntests du es evtl. so leicht wie möglich erklären.
Wir betrachten wegen [mm] $X=\IC^n\$ [/mm] auch komplexe Matrizen. In
diesem Fall betrachtest du nicht die Wurzel des größten
Eigenwerts von [mm] $A^T*A\$, [/mm] sondern die von [mm] $A^H*A$.
[/mm]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:24 Mo 23.06.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo zusammen,
leider ist nochmal eine frage dazu aufgetaucht ( hoffentlich ist es die letzte zu diesen Beitrag)
auf wiki habe gelesen dass es "verschiedene" Matrixnormen gibt, die entweder über einen Vektornorm, Operatornorm oder Singulärwerte? definiert sind. Aber was ist der unterschied ( unabh. von den Begriffen), da ich der meinung bin dass ist dasselbe ist, vorallem zw. Vektornorm und Operatornorm.
z.b. man definiert auf eine lin. Abb [mm] IK^n \rightarrow IK^n [/mm] eine norm., wobei dazu eine Matrixdarstellung gibt. laut wiki heißt eine matrixnorm über vektornorm definiert, wenn man alle einträge von der matrix untereinander schreiben kann, sodass man einen langen vektor mit [mm] iK^{n \cdot n}. [/mm] das heißt doch dass alle matrixnorm über vektornorm definiert werden kann, oder.
dann heißt es das eine matrixnorm über operatornorm def. werden kann, falls die matrixnorm durch einen vektornorm induziert wird, heißt dass jede matrixnorm die über vektornorm defineirt ist auch operatornorm ist? das verwirrt mich irgendwie alles.
Kann es mir bitte jemand so leicht wie möglich erklären und evtl eine beispiel (falls möglich ist) Dankeschön im voraus für eure hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 26.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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