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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 20.11.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | | Bestimme die Einträge der Matrix exp(At) mit [mm] A=\pmat{ a & 1 \\ 0 & b } [/mm] und [mm] a\not=b [/mm] und löse y'=Ay. |
Hallo,
ich wollte die Matrix über die Jordanform berechnen für die sich einfach JNF(A)= [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] ergibt, jetzt komm ich aber nicht auf die Transformationsmatrizen weil ich keine Eigenvektoren ausrechnen kann.
Und genau das ist dann auch mein Problem beim zweiten Teil der Aufgabe ich finde keine Eigenvektoren, mache ich was falsch oder ist es der falsche Ansatz.
Danke
Zweiti
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Do 20.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Zweiti!
> Bestimme die Einträge der Matrix exp(At) mit [mm]A=\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }[/mm]
> und [mm]a\not=b[/mm] und löse y'=Ay.
> Hallo,
> ich wollte die Matrix über die Jordanform berechnen für
> die sich einfach JNF(A)= [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }[/mm] ergibt,
> jetzt komm ich aber nicht auf die Transformationsmatrizen
> weil ich keine Eigenvektoren ausrechnen kann.
>
> Und genau das ist dann auch mein Problem beim zweiten Teil
> der Aufgabe ich finde keine Eigenvektoren, mache ich was
> falsch oder ist es der falsche Ansatz.
Schwer zu raten 
Ich kann die Eigenvektoren ausrechnen.
Schreib mal auf, was du gerechnet hast, dann kann dir einer von uns sicher sagen, wo der Fehler liegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Zweiti |
Also um die Eigenvektoren zu berechnen, berechne ich [mm] (\lambda\*id-A), [/mm] d.h. ich löse für den ersten Eigenwert
[mm] 0\*x_{1}-x_{2}=0 [/mm] und [mm] 0\*x_{1}+(a-b)\*x_{2}=0
[/mm]
für den zweiten Eigenwert
[mm] (b-a)\*x_{1}-x_{2}=0 [/mm] und [mm] 0\*x_{1}+0\*x_{2}=0 [/mm] und das ergibt ja für mich einen Widerspruch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zweiti,
> Also um die Eigenvektoren zu berechnen, berechne ich
> [mm](\lambda\*id-A),[/mm]
und damit [mm] $\det(\lambda*id-A)=0\,.$
[/mm]
> d.h. ich löse für den ersten Eigenwert
> [mm]0\*x_{1}-x_{2}=0[/mm] und [mm]0\*x_{1}+(a-b)\*x_{2}=0[/mm]
> für den zweiten Eigenwert
> [mm](b-a)\*x_{1}-x_{2}=0[/mm] und [mm]0\*x_{1}+0\*x_{2}=0[/mm] und das
> ergibt ja für mich einen Widerspruch.
Also ich weiß weder, was Du da für einen Widerspruch siehst noch wie Deine Rechnung zustandekommt.
Edit: Okay, nachdem ich jetzt meine ganze Rechnung mitgeliefert habe, sehe ich doch, wie Deine zustandegekommen ist.
Ich mache es mal schrittweise, vll. siehst Du es ja dann:
1.) [mm] $$\lambda*id-A=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda } -\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }=\pmat{ \lambda-a & -1 \\ 0 & \lambda-b }$$ [/mm]
liefert
2.) [mm] $$\det\left(\lambda*id-A\right)=0\;\;\;\gdw\;\;\;(\lambda-a)*(\lambda-b)=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \lambda=a \text{ oder }\lambda=b\,.$$
[/mm]
Wir setzen [mm] $\lambda_1:=a$ [/mm] und [mm] $\lambda_2:=b\,.$
[/mm]
3.) Für [mm] $\lambda_1=a$ [/mm] erhält man für den (bis auf einen nichttrivialen multiplikativen Skalar eindeutigen) zu [mm] $\lambda_1=a$ [/mm] zugehörigen Eigenvektor [mm] $x=x^{(\lambda_1)}=x^{(a)}=\vektor{x_1\\x_2}$
[/mm]
[mm] $$a*\vektor{x_1\\x_2}=\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }\vektor{x_1\\x_2}$$
[/mm]
und damit
[mm] $$\text{(I) }\;\;\;ax_1=ax_1+x_2$$
[/mm]
[mm] $$\text{(II) }\;\;\;ax_2=bx_2\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $a\not=b$ [/mm] folgt aus [mm] $\text{(II)}$ [/mm] dann [mm] $x_2=0$. [/mm] Setz man das in [mm] $\text{(I)}$ [/mm] ein, so erkennt man, dass [mm] $x_1$ [/mm] beliebig gewählt werden kann (man sollte natürlich nun [mm] $x_1\not=0$ [/mm] wählen). Mit anderen Worten:
Speziell kannst Du [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] als (einen) zum Eigenwert [mm] $\lambda_1=a$ [/mm] zugehörigen Eigenvektor wählen. Wie gesagt:
Bei der Eindeutigkeit eines Eigenvektors zu einem Eigenwert hat man folgende Problematik:
Ist $x [mm] \not= [/mm] 0$ (rechterhand steht der Nullvektor) ein Eigenvektor für $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda \not=0\,,$ [/mm] so ist auch für jeden Skalar $r [mm] \not=0$ [/mm] dann [mm] $y:=r\,*\,x$ [/mm] ein Eigenvektor für $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$.
[/mm]
Denn:
[mm] $$Ax=\lambda*x \Rightarrow r*(Ax)=r*(\lambda*x) \Rightarrow A(r*x)=\lambda*(r*x) \Rightarrow Ay=\lambda*y\,.$$
[/mm]
P.S.:
Du solltest nun natürlich auch noch einen Eigenvektor zu [mm] $\lambda_2=b$ [/mm] ausrechnen.
P.P.S.:
Ganz allgemein kann die Sache mit den Eigenvektoren natürlich auch noch anders aussehen. Ein Eigenwert liefert ja einen Eigenraum und für diesen gibt es ja i.a. sehr viele Basen. Aber oben ist der zu [mm] $\lambda_1=a$ [/mm] zugehörige Eigenraum halt eindimensional.
Allgemeiner:
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Berechnung der Eigenwerte bzw. Wiki: Eigenraum bzw. Wiki: Geometrische Vielfachheit.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Einträge der Matrix exp(At) mit [mm]A=\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }[/mm]
> und [mm]a\not=b[/mm] und löse y'=Ay.
> Hallo,
> ich wollte die Matrix über die Jordanform berechnen für
> die sich einfach JNF(A)= [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }[/mm] ergibt,
> jetzt komm ich aber nicht auf die Transformationsmatrizen
> weil ich keine Eigenvektoren ausrechnen kann.
>
> Und genau das ist dann auch mein Problem beim zweiten Teil
> der Aufgabe ich finde keine Eigenvektoren, mache ich was
> falsch oder ist es der falsche Ansatz.
>
> Danke
> Zweiti
>
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Man braucht keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren.
Mit Induktion sieht man leicht:
[mm] (tA)^n [/mm] = [mm] t^n\pmat{ a^n & \bruch{a^n-b^n}{a-b} \\ 0 & b^n } [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann ist [mm] e^{tA} [/mm] = [mm] \pmat{ e^{ta} & \bruch{e^{ta}-e^{tb}}{a-b} \\ & e^{tb} }
[/mm]
Die Spalten von [mm] e^{tA} [/mm] bilden nun ein Fundamentalsystem von y'=Ay.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 23.11.2008 | | Autor: | Zweiti |
Hallo,
ich verstehe die Induktion nicht,
für n=1 hab ich $ [mm] (tA)^1 [/mm] $= [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & b } [/mm] und somit erledigt
und dann für n=n+1, weiß ich nicht wie ich das auf die Matrix anwende,
d.h. wie mache [mm] t^{n+1}*A^{n+1}.
[/mm]
Vielleicht kann mir da noch mal jemand auf die Sprünge helfen.
Danke Zweiti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 23.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich verstehe die Induktion nicht,
> für n=1 hab ich [mm](tA)^1 [/mm]= [mm]\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }[/mm] und somit
> erledigt
>
> und dann für n=n+1,
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$
> weiß ich nicht wie ich das auf die
> Matrix anwende,
> d.h. wie mache [mm]t^{n+1}*A^{n+1}.[/mm]
>
> Vielleicht kann mir da noch mal jemand auf die Sprünge
> helfen.
I.V.
Sei $ [mm] (tA)^n [/mm] $ = $ [mm] t^n\pmat{ a^n & \bruch{a^n-b^n}{a-b} \\ 0 & b^n } [/mm] $ für ein $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
$n [mm] \mapsto n+1\,:$
[/mm]
Es gelte die I.V. für [mm] $\,n\,.$
[/mm]
(Zu zeigen ist, dass daraus dann auch
$ [mm] (tA)^{n+1} [/mm] $ = $ [mm] t^{n+1}\pmat{ a^{n+1} & \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \\ 0 & b^{n+1} }$ [/mm] folgt.)
Dann folgt [mm] $$(tA)^{n+1}=tA(tA)^n=t\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }t^n\pmat{ a^n & \bruch{a^n-b^n}{a-b} \\ 0 & b^n }=t^{n+1}\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }\pmat{ a^n & \bruch{a^n-b^n}{a-b} \\ 0 & b^n }\,.$$
[/mm]
Berechne nun [mm] $\pmat{ a & 1 \\ 0 & b }\pmat{ a^n & \bruch{a^n-b^n}{a-b} \\ 0 & b^n }\,.$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Es [/mm] gibt nur eine wesentliche Stelle:
[mm] $$a\frac{a^n-b^n}{a-b}+b^n=\frac{a(a^n-b^n)+b^n(a-b)}{a-b}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\,.\text{)}$$
[/mm]
Dann bist Du auch schon fertig. Siehst Du es?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Zweiti |
Ja ich sehe es.
Vielen Dank!
Zweiti
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