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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Das mathematische Pendel der Länge l wird um den Winkel [mm] \phi_0 [/mm] ausgelenkt und dann losgelassen.
Wie sieht die DGL aus? |
Also betrachtet man die Kräftezerlegung und den Weg der Pendelmasse in Bogenlänge,so erhält man:
[mm] m x'' = sin(\phi) mg [/mm]
und [mm] x'' = -l \phi'' [/mm]
woraus folgt:
[mm] - \phi'' =\bruch{g}{l} sin(\phi ) [/mm]
In meiner Lösung des DGL-Skriptes wird das nun anders gelöst als wir das in Physik hatten, wo wir direkt die Näherung für kleine Winkel benutzt haben.
Nun wird hier auf beiden Seiten mit der ersten Ableitung mulitpliziert. Ein Schritt ist dann:
[mm] -\phi'' \phi' = \bruch{d}{dt} (\bruch{\phi'^2}{2} )[/mm]
Das man das beides durch die erste Ableitung ausdrücken kann ist mir klar, aber wo kommt das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] her? Was ist das für eine Regel?
Und dann erst folgt nach der Benennung der kinetischen und potentiellen Energie die Näherung für kleine Winkel:
[mm] sin(\phi) \approx \phi , cos(\phi) \approx 1- \bruch{\phi^2}{2} [/mm]
Es folgt dann insgesamt:
[mm] \phi' = \pm \wurzel{s\bruch{g}{l} - \bruch{g}{l} \phi^2} [/mm]
Und dann nach Umformung:
[mm] \phi = 2 sin(-t \wurzel{\bruch{g}{l}} + arcsin(\bruch{\phi(0)}{2})) [/mm]
Diese Lösung ist doch einfach die exakte Lösung der DGL,oder? Weil allgemein gilt ja die Form der Lösung:
[mm] \phi = a sin(\omega t + \phi_0) [/mm]
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 12.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das beste ist du differenzierst mal [mm] \phi^2 [/mm] und [mm] \phi'^2 [/mm] nach der Kettenregel, dann siehst du, wo die 1/2 herkommen..
Die Lösung ist die exakte Lösung nur für die "Kleinwinkelnäherung", sie ist falsch für große Winkel, dann hat man keine sinus-Schwingung mehr. am einfachsten siehst du das, wenn du [mm] \phi [/mm] fast 180° bzw [mm] \pi [/mm] setzest.
in deiner gleichung für [mm] \phi' [/mm] ist die Näherung enthalten.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Danke für deine Antwort.
Gut, wenn ich das mit der Kettenregel ableite, bekomme ich einen Faktor 2 und damit ich den wieder rausbekommen, sodass ich [mm] \bruch{d}{dt} \phi' \phi' [/mm] erhalte. Also ist das auch wieder so eine Geschichte, dass ich nachher durch zwei teilen muss, damit es vorher passt, ja? ;)
Danke dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mi 12.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
so kannst du es sehen, aber auch direkt dass [mm] (1/2\phi^2)'=\phi*\phi' [/mm] ist, genau wie duu weisst dass die Stammfunktion von x nicht [mm] x^2 [/mm] sondern [mm] 1/2x^2 [/mm] ist, oder weisst dass 2 x die Stammfunktion [mm] x^2 [/mm] hat.
Man lernt so etwas direkt zu sehen!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Stimmt. Vielen Dank dir :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Dann hab ich noch ne Frage zum Pendel.
Wenn ich jetzt das Phasenportrait dazu zeichnen soll, wie gehe ich da vor?
Wenn ich ein System habe, dann weiß ich wie ich vorgehen muss.
Ich könnte die Bewegungsgleichung ja auch in ein System 1. Ordnung umschreiben.
Oder gibt es noch eine andere Methode?
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 12.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
für das Phasenportrait ist die Umwandlung in ein System das einfachste, manchmal, wie hier ist das so einfach, dass man es im Kopf kann. Denk dran, dass es für die Kleinwinkelnäherung anders ist als allgemein.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Ok, das beruhigt mich schonmal :D
Also ich bekomme dann als Eigenwerte der Matrix [mm] \pm i \wurzel{\bruch{g}{l}} [/mm]
als stationärer Punkt erhalte ich (0,0) und da der Realteil gleich Null ist ist es ein Zentrum.
Wie zeichne ich das dann im größeren Umkreis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 12.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch einfach
(y1,y2)'=(y2,a*sin(y1) verkürzt geschrieben.
in das y1,y2 Koordinatensystem zeichnest du an jeder Stelle die Richtung des Vektors
(y1,y2)! also (y2,a*sin(y1) ein. auf der Linie y1=0 ist die Stiegung also (y2,0) also waagerecht, auf der Linie y1=1 hast du die Steigung des Vektors (y2,a*0,84) usw.
ebensi kannst du die Steigungen auf y2=const eintragen.
hier ein Bsp, die Lösungskurve für [mm] \phi(0)=3 [/mm] rad ist eingetragen, x Richtung [mm] \phi, [/mm] y Richtung [mm] \phi' [/mm] in der Graphik mit x und u bezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Genau so eine Erklärung habe ich gesucht.
Vielen Dank, du hilfst wirklich großartig!!! :)
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