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Im wilden Westen haben sich Bob, Dick und Ted so beleidigt, dass sie glauben, ihre Ehre nur durch ein Triell wiederherstellen zu können. Sie wollen so lange aufeinander scheißen, bis nur mehr einer am Leben ist. Die Reihenfolge, in der sie jeweils einen Schuß abgeben dürfen, wird durch Los entschieden. Dann stellen sie sich auf die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Die Treffsicherheiten betragen beziehungsweise 100, 80 und 50 Prozent.
a) Welche Strategie ist für jeden einzelnen optimal, d.h. wie wird
sich jeder verhalten, wenn die Reihe an ihm ist zu schießen?
b) Nun wende jeder Schütze seine optimale Strategie an. Wie
groß sind dann
1) die Überlebenswahrscheinlichkeiten für jeden der drei
(geometrische Reihe)
2) die Sterbewahrscheinlichkeiten für jeden der drei?
c) Warum ist die Summe der Überlebenswahrscheinlichkeiten
gleich 1, die der Sterbewahrscheinlichkeiten aber größer als 1?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Slimer1986 |
Die Ergebnisse lauten Bob 30% Überlebenschance, Dick 17.8 und Ted 52.2%!! Ich weiß bloss den Rechenweg nicht, den brauche ich!!
Und für die Strategien: Bob erschießt Dick
Dick erschießt Bob
Ted schießt in die Luft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Do 21.04.2005 | | Autor: | Walde |
Zu a)
Als Ted (T):
Würde ich auf einen der beiden schiessen, wenn ich dran wäre und treffen, wäre anschliessend der andere dran und meine Chancen stünden schlecht. Also schiesse ich absichtlich daneben und warte ab, welcher der beiden überlebt. Auf diesen darf ich dann wenigstens zuerst feuern.
Als Bob (B):
Dick (D) ist für mich der gefährlichere Gegner, also töte ich ihn, wenn ich die Gelegenheit habe.
Als Dick (D):
Wenn B dran kommt schiesst er auf mich, weil ich gefährlicher als T bin, also muss ich versuchen ihn zuerst zu töten, falls ich vor ihm dran bin. Dann hab ich zwar den Nachteil, dass T auf mich als erster schiessen darf, aber immer noch besser, als von B mit 100% getroffen zu werden.
Zu b)1. Überlebenswahrscheinlichkeiten
T schiesst in jedem Fall zuerst in die Luft wenn noch 3 Leute stehen. Also ist nur relevant, ob B ider D zuerst schiessen dürfen (mit W'keit jeweils 0.5)
Als Bob (B):
P(Überleben)=[P(B schiesst vor D)*P(B trifft D)+P(D schiesst vor B)*P(D trifft nicht B)]*P(T schiesst anschliessend vorbei)
=[0.5*1+0.5*0.2]*0.5=0.3
Als Dick (D):
P(Überleben)=P(D schiesst vor B)*P(D trifft B)*P(D erschiesst T)
P(D erschiesst T) betrachten wir genauer:
P(D erschiesst T)=P(T schiesst seinen ersten Schuss daneben)*
[P(D trifft mit seinem 1. Schuss T)
+P(D trifft mit seinem 2. Schuss T)
+P(D trifft mit seinem 3. Schuss T)+... usw.
(Das nennt man warten auf ein Ereignis.)
P(D erschiesst T)=0.5*[
0.8
+ 0.2*0.5*0.8 (D schiesst daneben, dann T daneben, dann trifft D)
+ 0.2*0.5*0.2*0.5*0.8 (D schiesst daneben, dann T daneben,dann D daneben, dann T daneben,dann trifft D)
+...
[mm] +$0.2^n 0.5^n [/mm] 0.8$] (D schiesst n-mal daneben, T schiesst n-mal daneben, dann trifft D)
Wir müssen den Grenzwert [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] betrachten und kommen so zur geometrischen Reihe.
P(D erschiesst [mm] T)=0.5*0.8*[1+0.1+$0.1^2+0.1^2...]$
[/mm]
[mm] =0.5*0.8*$\bruch{1}{1-0.1}$
[/mm]
[mm] =$\bruch{4}{9} \approx$0.444
[/mm]
Und so
P(Überleben)=P(D schiesst vor B)*P(D trifft B)*P(D erschiesst T)
=0.5*0.8*0.444.=0.178
Als Ted (T):
Da nur einer der drei überleben kann, kann nur ein Ereignis 'Person P überlebt' $P [mm] \in \{B,D,T\}$ [/mm] gleichzeitig eintreten. Man sagt auch dazu die Ereignisse sind disjunkt. Irgendeiner der drei überlebt aber in jedem Fall also mit W'keit 1.(siehe auch Aufgabenteil c).
Es gilt also:
1=P(Irgendeiner überlebt)=P(B überlebt)+P(D überlebt)+P(T überlebt)
Daraus folgt: P(T überlebt)=1-(P(B überlebt)+P(D überlebt))=1-(0.3+0.178)=0.522
Man kann P(T überlebt) aber auch durch die selben Überlegungen wie bei D ausrechenen, aber das hier spart Zeit und Aufwand.
2. Der Sterbefall für eine Person ist natürlich das Gegenereignis zum Überleben. Es gibt nur 2 Ausgänge (Leben oder Tod) und die sind wieder disjunkt (schliessen sich gegenseitig aus).
Also gilt:
P(Person P überlebt)+P(Person P überlebt nicht)=1 und damit
P(Person P überlebt nicht)=1-P(Person P überlebt).
Und so:
P(B überlebt nicht)=1-0.3=0.7
P(D überlebt nicht)=1-0.178=0.822
P(T überlebt nicht)=1-0.522=0.478
c) Der Grund, warum die Sterbew'kten in der Summer nicht 1 Ergeben ist, weil die Ereignisse nicht disjunkt sind, sondern immer 2 gleichzeitig auftreten.
Ich hoffe, dass hat geholfen
Gruß Walde
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