Mathe-Rätsel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 28.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
| Aufgabe | Berta und Peter spielen ein Spiel: Berta bekommt einen Zettel, auf dem die Summe zweier natürlicher Zahlen steht. Paul bekommt das Produkt dieser beiden Zahlen.
"Du kannst meine Summe nicht bestimmen, Paul!" sagt Berta
"Danke Berta - die Summe beträgt 36" entgegnet Paul
Bestimme die beiden Zahlen. |
Ich habe diese Frage auch auf anderen Inet-Seiten gepostet und zwar hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391081
Ich hab mal damit angefangen, alle möglichen Summen für 36 aufzuschreiben (1+35, 2+34,...)
Berta denkt sich dann: Paul hat eine der folgenden Produkte: (1*35 , 2*34 ,...)
Dann hab ich mir noch die Teiler der Produkte angeschaut, aber ich weiß nicht wie man auf die beiden Zahlen kommt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 28.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Berta und Peter spielen ein Spiel: Berta bekommt einen
> Zettel, auf dem die Summe zweier natürlicher Zahlen steht.
> Paul bekommt das Produkt dieser beiden Zahlen.
> "Du kannst meine Summe nicht bestimmen, Paul!" sagt Berta
> "Danke Berta - die Summe beträgt 36" entgegnet Paul
>
> Bestimme die beiden Zahlen.
> Ich habe diese Frage auch auf anderen Inet-Seiten gepostet
> und zwar hier:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391081
>
> Ich hab mal damit angefangen, alle möglichen Summen für 36
> aufzuschreiben (1+35, 2+34,...)
> Berta denkt sich dann: Paul hat eine der folgenden
> Produkte: (1*35 , 2*34 ,...)
>
> Dann hab ich mir noch die Teiler der Produkte angeschaut,
> aber ich weiß nicht wie man auf die beiden Zahlen kommt
Hallo,
Paul bekommt nur ein Produkt aus zwei Zahlen gezeigt. Wenn er wüsste, wie die beiden Faktoren sind, könnte er auch die Summe der beiden Faktoren sagen. Das weiß auch Berta.
Die einzige Möglichkeit, wie Paul die beiden Faktoren ohne fremde Andeutungen selbst ermitteln kann, ist die, dass auf seinem Zettel als Produkt eine Primzahl (nennen wir sie p) steht. Die beiden Faktoren wären dann 1 und p. (Auch wenn die Zahl 1 dort stehen würde, wüsste er Bescheid.)
Berta hat nun mit ihrer Andeutung verraten, dass ihre Zahl NICHT die Summe aus 1 und einer Primzahl p ist und dass sie auch nicht 1+1 ist. Bertas Zahl kann also nur noch 5, 7, 9, 10, 11, 13, ... sein (alles Zahlen, die nicht Nachfolger einer Primzahl sind).
Paul hat auf auf seinem Zettel eine Zahl stehen, die sich nur auf genau 2 Arten als Produkt natürlicher Zahlen schreiben lässt, und Berta hat durch ihre Bemerkung eine der beiden Fälle ausgeschlossen.
Pauls Zahl ist also das Produkt aus 2 Primzahlen [mm] p_1*p_2, [/mm] und die beiden Faktoren sind entweder [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] oder 1 und [mm] p_1*p_2.
[/mm]
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 28.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo,
> Paul bekommt nur ein Produkt aus zwei Zahlen gezeigt. Wenn
> er wüsste, wie die beiden Faktoren sind, könnte er auch die
> Summe der beiden Faktoren sagen. Das weiß auch Berta.
> Die einzige Möglichkeit, wie Paul die beiden Faktoren ohne
> fremde Andeutungen selbst ermitteln kann, ist die, dass auf
> seinem Zettel als Produkt eine Primzahl (nennen wir sie p)
> steht. Die beiden Faktoren wären dann 1 und p. (Auch wenn
> die Zahl 1 dort stehen würde, wüsste er Bescheid.)
> Berta hat nun mit ihrer Andeutung verraten, dass ihre Zahl
> NICHT die Summe aus 1 und einer Primzahl p ist und dass sie
> auch nicht 1+1 ist. Bertas Zahl kann also nur noch 5, 7, 9,
> 10, 11, 13, ... sein (alles Zahlen, die nicht Nachfolger
> einer Primzahl sind).
> Paul hat auf auf seinem Zettel eine Zahl stehen, die sich
> nur auf genau 2 Arten als Produkt natürlicher Zahlen
> schreiben lässt, und Berta hat durch ihre Bemerkung eine
> der beiden Fälle ausgeschlossen.
> Pauls Zahl ist also das Produkt aus 2 Primzahlen [mm]p_1*p_2,[/mm]
> und die beiden Faktoren sind entweder [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] oder 1
> und [mm]p_1*p_2.[/mm]
> Gruß Abakus
danke schonmal
aber es gibt immer noch mehrere zahlen, auf die das zutrifft:
155:
[mm]5*31 [/mm]
203:
[mm]7*29[/mm]
299:
[mm]13*23[/mm]
323:
[mm]17*19[/mm]
35:[mm]1*35[/mm] / [mm]7*5[/mm]
35 hat Paul nicht, da [mm]7+5=12[/mm] (und hätte Berta 12 hätte sie das nicht sagen können)
aber bei den übrigen 4 wäre auch 1* [mm]p_1*p_2[/mm]möglich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mi 29.04.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > Paul bekommt nur ein Produkt aus zwei Zahlen gezeigt.
> Wenn
> > er wüsste, wie die beiden Faktoren sind, könnte er auch die
> > Summe der beiden Faktoren sagen. Das weiß auch Berta.
> > Die einzige Möglichkeit, wie Paul die beiden Faktoren
> ohne
> > fremde Andeutungen selbst ermitteln kann, ist die, dass auf
> > seinem Zettel als Produkt eine Primzahl (nennen wir sie p)
> > steht. Die beiden Faktoren wären dann 1 und p. (Auch wenn
> > die Zahl 1 dort stehen würde, wüsste er Bescheid.)
> > Berta hat nun mit ihrer Andeutung verraten, dass ihre Zahl
> > NICHT die Summe aus 1 und einer Primzahl p ist und dass sie
> > auch nicht 1+1 ist. Bertas Zahl kann also nur noch 5, 7, 9,
> > 10, 11, 13, ... sein (alles Zahlen, die nicht Nachfolger
> > einer Primzahl sind).
> > Paul hat auf auf seinem Zettel eine Zahl stehen, die
> sich
> > nur auf genau 2 Arten als Produkt natürlicher Zahlen
> > schreiben lässt, und Berta hat durch ihre Bemerkung eine
> > der beiden Fälle ausgeschlossen.
> > Pauls Zahl ist also das Produkt aus 2 Primzahlen
> [mm]p_1*p_2,[/mm]
> > und die beiden Faktoren sind entweder [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] oder 1
> > und [mm]p_1*p_2.[/mm]
> > Gruß Abakus
>
> danke schonmal
>
> aber es gibt immer noch mehrere zahlen, auf die das
> zutrifft:
> 155:
> [mm]5*31[/mm]
>
> 203:
> [mm]7*29[/mm]
>
> 299:
> [mm]13*23[/mm]
>
> 323:
> [mm]17*19[/mm]
>
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> 35:[mm]1*35[/mm] / [mm]7*5[/mm]
> 35 hat Paul nicht, da [mm]7+5=12[/mm] (und hätte Berta 12 hätte sie
> das nicht sagen können)
Na, dann ist doch alles prima. Paul hat auf seinen Zettel die 35 stehen. Das könnte von 1 und 35 oder von 7 und 5 kommen.
Bei 7 und 5 hätte Berta die Summe 12. Dann wäre es aus ihrer Sicht möglich, dass die Zahlen 1 und 11 sein könnten (welche Paul dann sofort findet), somit könnte sie die Aussage "Du kannst die Zahlen nicht bestimmen" nicht treffen.
Da sie diese Aussage aber doch trifft, hat sie nicht die Summe 12, sondern die Summe 36.
Gruß Abakus
>
> aber bei den übrigen 4 wäre auch 1* [mm]p_1*p_2[/mm]möglich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reverend |
Netter Versuch, abakus.
> Na, dann ist doch alles prima. Paul hat auf seinen Zettel
> die 35 stehen. Das könnte von 1 und 35 oder von 7 und 5
> kommen.
> Bei 7 und 5 hätte Berta die Summe 12. Dann wäre es aus
> ihrer Sicht möglich, dass die Zahlen 1 und 11 sein könnten
> (welche Paul dann sofort findet), somit könnte sie die
> Aussage "Du kannst die Zahlen nicht bestimmen" nicht
> treffen.
> Da sie diese Aussage aber doch trifft, hat sie nicht die
> Summe 12, sondern die Summe 36.
> Gruß Abakus
Wenn Berta die Summe 36 auf ihrem Zettel hat, kann sie leider nicht ausschließen, dass Paul eines der Produkte 155=5*31, 203=7*29, 299=13*23 oder 323=17*19 stehen hat.
Hast Du die auch untersucht?
Grüße
rev
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 29.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Netter Versuch, abakus.
>
> > Na, dann ist doch alles prima. Paul hat auf seinen Zettel
> > die 35 stehen. Das könnte von 1 und 35 oder von 7 und 5
> > kommen.
> > Bei 7 und 5 hätte Berta die Summe 12. Dann wäre es aus
> > ihrer Sicht möglich, dass die Zahlen 1 und 11 sein könnten
> > (welche Paul dann sofort findet), somit könnte sie die
> > Aussage "Du kannst die Zahlen nicht bestimmen" nicht
> > treffen.
> > Da sie diese Aussage aber doch trifft, hat sie nicht
> die
> > Summe 12, sondern die Summe 36.
> > Gruß Abakus
>
> Wenn Berta die Summe 36 auf ihrem Zettel hat, kann sie
> leider nicht ausschließen, dass Paul eines der Produkte
> 155=5*31, 203=7*29, 299=13*23 oder 323=17*19 stehen hat.
>
> Hast Du die auch untersucht?
Nö, war ich bisher zu faul.
Hätte Paul die 155, könnte er auf 5 und 31 oder auf 1 und 155 (mit der Summe 156) auf Bertas Zettel schließen. Da 156 NICHT der Nachfolger einer Primzahl ist, kann Paul die beiden Zahlen auf Bertas Zettel tatsächlich nicht zweifelsfrei feststellen. Also kann Berta die Aussage "Du kannst es nicht" treffen, ohne dass Paul mit "dann Summe 36" antworten kann.
Die beschriebene Situation tritt also nicht ein, wenn Paul das Produkt 155 sieht.
Gruß Abakus
>
> Grüße
> rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
da bin ich seit gestern einem massiven Denkfehler aufgesessen. Ich habe die Aufgabe so untersucht, als hätte Paul gar keinen Zettel mit einer Zahl darauf. Das kann ja auch nicht klappen.
Du hast also vollkommen Recht.
Berta könnte die Aussage "das kannst Du nicht lösen" immer dann treffen, wenn sie nicht den Nachfolger einer Primzahl vor sich hat. Mit dieser Zusatzinformation könnte Paul immer dann lösen, wenn er das Produkt zweier Primzahlen auf seinem Zettel hat, deren Summe zugleich Nachfolger einer Primzahl ist.
Mann, war ich blind.
Danke für die Erhellung.
Liebe Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Mi 29.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Hier fehlt doch eine Angabe. Wie lautet denn das Produkt der beiden Zahlen?
Wenn man das Produkt kennt, dann lassen sich die beiden Zahlen auch bestimmen. Entweder durch Probieren oder durch Aufstellen von Gleichungen, die man dann mit Hilfe der p-q-Formel löst.
Angenommen, das Produkt ist 128 und die Summe ist 36.
A * B = 128
A + B = 36 daraus folgt A = 36 - B
( 36 - B ) * B = 128
Das läuft auf eine quadratische Gleichung hinaus, die sich lösen lässt:
A=32 und B=4
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> Hier fehlt doch eine Angabe. Wie lautet denn das Produkt
> der beiden Zahlen?
Guten Morgen rabilein,
der Witz derartiger Aufgaben liegt natürlich genau
darin, dass scheinbar Angaben fehlen und durch
manchmal recht komplexe Gedankengänge trotzdem
eine eindeutige Lösung gefunden werden kann.
Es gibt auch Aufgaben dieser Sorte, die ohne jegliche
zahlenmässige Vorgaben auskommen.
Beispiel: ![[]](/images/popup.gif) Luzifer-Rätsel
Allerdings ist da noch eine Obergrenze (100) für die
beiden Zahlen gegeben.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reverend |
edit: Ich habe mich geirrt. Hier der Widerruf.
Hallo an alle,
rabilein hat aber Recht. Mit den vorliegenden Angaben ist das Rätsel nicht lösbar. Ich habe es gestern abend ausgiebig untersucht und heute morgen noch einmal nachgesehen, ob ich Wesentliches übersehen habe. Das scheint nicht so zu sein.
Entweder es gibt noch Informationen über die beiden Zahlen (z.B.: bei größer als 1, teilerfremd, kleiner als 50 etc.), oder ein anderes Detail der Aufgabenstellung, das überhaupt eine Lösung ermöglicht.
Im Moment komme ich nicht dazu, aber vielleicht sind hier auch die Rollen vertauscht. Das folgende Gespräch scheint mir wahrscheinlicher:
Robert: Du kannst nicht bestimmen, welches Produkt ich hier habe.
Julia: Danke für die Information. Dein Produkt ist 36.
Aber auch dann scheinen mir noch Einschränkungen für die beiden gesuchten Zahlen zu fehlen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo alle,
meinen letzten Beitrag muss ich zurücknehmen, ich bin einer selbstgebastelten Chimäre aufgesessen. abakus hat Recht mit seiner Lösung.
Hier die allgemeine Formulierung für die Lösbarkeit solcher Aufgaben.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 30.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Irgendwie scheint mir das alles "Höhere Mathematik" zu sein.
Ich hatte mich wohl durch die Überschrift "Mathematik > Schule > Klassen 8-10" irritieren lassen.
P.S.
Das Glück von Gauß und Euler - der Hölle entkommen zu sein - lag wohl darin, dass sich Luzifer ausgerechnet die Zahlen 4 und 13 ausgedacht hat.
Wie wäre der Dialog denn bei anderen Zahlen verlaufen?
Euler kriegt die 27 als Summe, und Gauß als Produkt die 180
Gauß: Ich kenne die beiden Zahlen nicht.
Euler: Ich auch nicht.
Gauß: Ich immer noch nicht
Euler: Mir fällt auch nichts ein
Gauß: Streng dich doch an
Euler: Ich komme nicht drauf.
Gauß: Ich auch nicht. Mist
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