Maßwechsel, Martingal < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Fr 04.02.2011 | | Autor: | mau |
| Aufgabe | Sei [mm] ( \Lambda_t)_{t\in{0,...,N}} [/mm] ein Martingal auf [mm] (\Omega,F,(F_t)_{t\in{0,...,N}},P) [/mm] mit [mm] \Lambda_0=1 [/mm] und [mm] \Lambda_{t+1}-\Lambda_t>-1 [/mm] für alle t und sei
[mm] Z_t=\produkt_{s=1}^{t}(1+\Lambda_s-\Lambda_{s-1})
[/mm]
a) [mm] d\hat{P}=Z_N*dP
[/mm]
Zeige dass [mm] \hat{P} [/mm] ein zu P equivalentes Maß ist
b) Sei m ein P-martingal auf [mm] (\Omega,F,(F_t)_{t\in{0,...,N}},P), [/mm] Zeige dass
[mm] \hat{m_t}=m_t-\summe_{s=1}^{t}E[(\Lambda_s-\Lambda_{s-1})(m_s-m_{s-1})|F_{s-1}]
[/mm]
ein [mm] \hat{P}-martingal [/mm] ist. |
Hallo,
zu a) Also zwei Maße heißen equivalent falls beide dem selben Mengen das Maß 0 zu ordnen, oder.
Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe beweißen soll,
eigentlich müsste ich eine Nullmenge bezüglich des P Maßes nehmen, und zeigen das die Menge dann auch bezüglich [mm] \hat{P} [/mm] eine Nullmenge ist.
zu b) anscheinet hat Aufgabe b) etwas mit dem Satz von Girsanov zutuen, leider sehe ich nicht wie der Satz mir hier weiter helfen könnte.
Danke für eure Hilfe.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> zu a) Also zwei Maße heißen equivalent falls beide dem selben Mengen das Maß 0 zu ordnen, oder.
äquivalent, aber richtig.
Jetzt verwendest Du [mm] $P(N)=\int_N\, [/mm] dP$.
b) ist tricky, weil ich nicht weiß, wie Ihr das mit Girsanov für diskrete Prozesse gemacht habt. Klingt aber grundsätzlich nach einem guten Stichwort. =)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Sa 05.02.2011 | | Autor: | BUK |
Mit dem Satz von Bayes kannst du zeigen dass für Z Martingal, Y messbar, [mm] $0\ge [/mm] s [mm] \ge [/mm] t [mm] \ge [/mm] N$ und [mm] $E_{P^*}(|Y|)$ [/mm] gilt
[mm] $E_{P^x}(Y|F_{s}) [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}} [/mm] * [mm] E_{P}(YZ_{t}|F_{s})$ [/mm] f.s. bzgl. P und [mm] $P^x$
[/mm]
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