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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 11.11.2017 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IR [/mm] -→ [mm] \IR [/mm] an höchstens endlich vielen Stellen unstetig. Dann ist f Borel-messbar. |
Wie könnte ich es beweisen bzw. widerlegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 11.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR[/mm] -→ [mm]\IR[/mm] an höchstens endlich vielen Stellen
> unstetig. Dann ist f Borel-messbar.
> Wie könnte ich es beweisen bzw. widerlegen?
Sei U die Menge der Unsetigkeitsstellen von f und V= [mm] \IR \setminus [/mm] U. Da U höchstens endlich ist, ist V offen.
Weiter ist die Einschränkung [mm] g:=f_{|V} [/mm] stetig. Nun sei M offen in [mm] \IR. [/mm] Dann ist [mm] g^{-1}(M) [/mm] offen in V, also offen in [mm] \IR [/mm] (V ist offen !).
Es ist
(*) [mm] f^{-1}(M)=g^{-1}(M) \cup (f^{-1}(M) \cap [/mm] U)
Die Menge [mm] f^{-1}(M) \cap [/mm] U ist höchstens endlich, also Borelsch. Damit folgt aus (*):
Für jede offene Menge M ist [mm] f^{-1}(M) [/mm] Borelsch.
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